Unterräume....

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Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume....
Also V ist der GF(2)- Vektorraum aller Teilmengen einer n-elementigen Menge X. Die Addition in V ist wie folgt definiert:



Wie macht man das ohne Zeichen in latex?

Nun ist W der Unterraum bestehend aus genau den Teilmengen, die eine gerade Anzahl an Elementen enthalten. (das hab ich überprüft)Nun soll Y eine Teilmenge mit ungerade vielen Elementen sein.
Aufgabe: Zeigen sie, dass W zusammen mit Y ganz V erzeugt.

Tja und da weiß ich nicht wie das geht. Ich mein ich hab das ganze mal am Beispiel der Menge X:={1,2,3} durchgerechnet. Aber von einem Beweis bin ich Lichtjahre entfernt.... wie macht man das?

Und 2.Frage

Ich soll beweisen, dass U dann ein Unterraum von V ist wenn, wenn U Teilmenge von V ist, und die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

U ungleich leere Menge
für alle k in K und u in U gilt k*u ist in U
für alle u,f in U gilt u-f ist in U

Also jetzt muss ich ja die Vektorraumaxiome nachprüfen.
Die Existenz der Nullvektors folgt also daraus, dass u-f und u-u=0 in U liegen müssen.Und hieraus folgt ebenfalls, dass es ein additives Inverses gibt, welches die Gleichung u+x=0 erfüllt. Also x=-u

Wie man nun aber zeigt, dass Assoziativität und Kommutativität gelten weiß ich nicht. Ich mein ich möchte zeigen, dass wenn u-f in U liegt, liegt auch -f+u in U. Wie macht man sowas ??

Zur Verknüpfung von Skalaren mit Vektoren:
k,h sind Skalare u,w sind Vektoren

zz.: (k+h)v=kv+hv
(kh)v=k(hv)
k(v+w)=kv+kw

Wie macht man das?
bier Auf diesen Beitrag antworten »

kommt schon leute, gebt euch nen ruck!! Hilfe
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

zu der ersten würde ich folgendes vorschlagen
erstmal zeigst du, das die Menge der einelementigen Teilmengen den VR erzeugt und als zweites, das man alle einelementigen Mengen aus der Menge Y und einem Element aus W erzeugen kann (per Y+w) für ein geeignetes w aus W.
Ansonsten steht GF(2)-VR für VR über dem Körper mit 2 Elementen? Das ist der einzige für den ich sehe wie man sinnvoll eine Skalarmultiplikation definieren kann. Da gibt es nämlich immer nur 2 Möglichkeiten, mal 1 gibt wieder den Vektor und mal 0 gibt den Nullvektor. Da ausserdem 1+1=0 und 1*1=1 (in diesem Körper) sind deine VR-axiome zu Skalarmultiplikation fast alle triviale Aussagen.
-f+u ist in U weil -f+u=u-f, die Addtion die du definiert hast ist kommutativ.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast noch nicht erklärt, wie die skalare Multiplikation definiert ist, aber ich vermute einmal, daß sie als



festgelegt ist, da einem aufgrund des Axioms kaum etwas anderes übrig bleibt. (siehe Beitrag von quarague)

Für den Nachweis, daß eine nichtleere Menge U Unterraum des Vektorraums V ist, mußt du nur die Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Inversenbildung sowie bezüglich der skalaren Multiplikation überprüfen. Assoziativ- und Kommutativgesetz sowie die Gesetze der skalaren Multiplikation gelten, da sie ja schon in V gelten.
Falls du diese Gesetze aber für V noch nachweisen mußt, so kannst du mehr dazu finden unter dem Stichwort symmetrische Differenz.
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