Zz Polynomring von Z[T] ist kein Hauptidealring

01.05.2007, 14:04

Buef

Zz Polynomring von Z[T] ist kein Hauptidealring

Zeigen Sie, dass der Polynomring Z[T] kein Hauptidealring ist.

ich würde es so angehen

Ein Integritätsring ist ein Hauptidealring falls jedes Ideal AcR Hauptideal ist.
Als Tipp haben wir von unserm Übungsgruppenleiter bekommen, dass wir zeigen sollen, dass es kein Integritätsring ist.

R ist ein Integritätsfing falss R kommutativ, $\begin{eqnarray*} 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist und R keine nichttrivialen NT besitzt.
Also das heisst, dass $\begin{eqnarray*} a \neq 0 ~,~ b \neq 0~a,b\in R ~\Rightarrow ab \neq 0 \end{eqnarray*}$

Also müsste ich zeigen, dass es einen nichttrivialen NT besitzt:

Da $\begin{eqnarray*} {0} \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist, ist es ein Trivialer NT, da gilt

$\begin{eqnarray*} 0* \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}=0 ~ fuer a \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Damit ist es doch nicht gezeigt oder doch?

01.05.2007, 14:21

Schmonk

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Schau dir doch einfach mal das Ideal $\begin{eqnarray*} (2,T) \end{eqnarray*}$ an.
Wenn du einen Hauptidealring hättest, dann müsste dieses Ideal von nur einem Element erzeugt sein...

01.05.2007, 14:25

therisen

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Hallo,

ergänzend sei gesagt: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ ist sehr wohl ein Integritätsring.

Gruß, therisen

01.05.2007, 14:39

Buef

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ah okay, und wie zeigt man das?

A c R ist Ideal falls

- A ist additive Untergruppe von R
dh also: a,b € A => a-b= a+(-b)€A

- a € A, r € R => ra€A und ar€A

Ne kurze Frage: Was ist dieses T genau?

ist bei dem Beispiel

a=2 und b=T
also einfach eine Variable, womit man zeigen muss, dass es kein Ideal ist!

01.05.2007, 14:41

therisen

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T ist ein Monom! Du hast ja $\begin{eqnarray*} Z[T] \end{eqnarray*}$ vorgegeben.

Außerdem sollst du zeigen, dass es KEIN Hauptideal ist. Dazu musst du einen Widerspruchsbeweis führen.

Gruß, therisen

01.05.2007, 14:59

Buef

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Ich muss doch erst nachweisen das 2T überhaupt erstmal in Ideal ist, und dann erst zeigen das es kein Hauptideal ist, damit wäre es dann auch kein Hauptidealring.

Wie zeige ich denn das es ein Ideal ist ? Die Axiome da oben verstehe ich in bezug auf (2,T) irgendwie nicht... Wie soll ich das (2,T) denn schreiben, und was versteht man genau darunter?

01.05.2007, 15:10

therisen

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Dass $\begin{eqnarray*} (2,T) \end{eqnarray*}$ ein Ideal ist, ist banal. Es ist sogar das kleinste Ideal, welches $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ enthält.

Es gilt $\begin{eqnarray*} (2,T) = \mathbb Z[X]2 + \mathbb Z[X]T \end{eqnarray*}$ .

Wenn du schon Probleme hast, nachzuweisen, dass das ein Ideal ist, dann bezweifle ich stark, dass es dir gelingt, einen Widerspruch herzuleiten.

Für einen Integritätsring R kann man übrigens ganz allgemein zeigen, dass folgende zwei Bedingungen äquivalent sind:

R ist Körper
R[X] ist Hauptidealring

Gruß, therisen

01.05.2007, 15:39

Buef

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Hmm dann ist es doch ganz einfach oder?

Wenn Z ein Körper sein soll, dann muss ja gelten

$\begin{eqnarray*} 2 * 2^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$

das stimmt

aber:

$\begin{eqnarray*} 2^{-1}= \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

damit ist es auch kein integritätsring...

ich schätze mal, jetzt verflucht mich einer LOL Hammer

ansonsten habe ich keine ahnung

01.05.2007, 15:42

therisen

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Zitat:

Original von Buef
Hmm dann ist es doch ganz einfach oder?

Ja, aber den Satz zu beweisen ist nicht ganz einfach Augenzwinkern

Also vergiss das mal schnell wieder.

EDIT: Warum sollte es kein Integritätsring sein??

Gruß, therisen

01.05.2007, 15:44

Schmonk

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Abgesehen davon, dass es hier um $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ geht und nicht um $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ müsstest du dann natürlich den von Therisen erwähnten Satz beweisen, sofern der nicht in deiner Lesung vorkam...

Edit:Ach Mist, zu langsam. Augenzwinkern

01.05.2007, 15:52

SilverBullet

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Edit : Ich guck doch lieber erstmal nach ob wir den Satz hatten @ Buef aber ich glaube schon

01.05.2007, 15:59

Buef

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jo haben wir, brauchen wir also nicht mehr zu beweisen!

01.05.2007, 16:03

SilverBullet

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Ok hab es leider nicht im Skript gefunden... unglücklich

Hatten das aber in der ÜStunde besprochen und an einem Beispiel gezeigt. Ein Beweis wäre dann also doch nötig unglücklich

01.05.2007, 20:12

gast1

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Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von Buef
Hmm dann ist es doch ganz einfach oder?

Ja, aber den Satz zu beweisen ist nicht ganz einfach Augenzwinkern

[...]

Genauso leicht/schwer wie die Aussage über (2,T) in Z[T] (dann halt mit (a,T) für eine von 0 verschiedene Nichteinheit a von R), oder übersehe ich etwas?

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