Geraden- und Ebenenschar

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01.05.2007, 14:22	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Geraden- und Ebenenschar Hallo, Gegeben sind $\begin{eqnarray} g_a: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} a \\ \sqrt{25-a^2} \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \\ -10 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass sich alle Geraden der Schar g_a in einem Punkt schneiden. Geben sie die Koordinaten des Schnittpunktes an. b) Bestimmen Sie das Schnittgebilde der Geradenschar mit der Ebene $\begin{eqnarray} E_1: z=0 \end{eqnarray}$ . c) Was wird durch die Geradenschar $\begin{eqnarray} g_a \end{eqnarray}$ beschrieben? d) Wo schneidet die Gerade $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ die Gerade $\begin{eqnarray} g_a \end{eqnarray}$ ? Zu a) Alle Geraden der Schar $\begin{eqnarray} g_a \end{eqnarray}$ schneiden sich im Punkt $\begin{eqnarray} P(0/0/5) \end{eqnarray}$ , da dort der Stützvektor aller Geraden der Schar $\begin{eqnarray} g_a \end{eqnarray}$ ist. zu b) Das Schnittgebilde der Geradenschar ist $\begin{eqnarray} g_a: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a \\ \sqrt{25-a^2} \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Wenn ja? wie schaffe ich das a aus dem Vektor rauszuholen und als Paramater darzustellen. zu c) Ja da bin ich komplett ratlos Was wird denn durch die Geradenschar beschrieben? zu d) Irgendwie bekomme ich da für $\begin{eqnarray} a_{1}=4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_2=-4 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} r=-3 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} s_1=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_2=-4 \end{eqnarray}$ Könntet ihr mal rüberschauen und mir helfen? Danke Edit: zu d) Es ist falsch ich hab einen Fehler gemacht, ich werde gleich neue Ergebnisse für d präsentieren
01.05.2007, 14:40	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar a) b) z=0: eliminiere den parameter a, schaut nach kreis aus in der xy-ebene. c) wie b), also scheint das ein kegel zu sein d) und wenn ich mich nicht wie üblich vertan habe, heißt der schnittpunkt S(4/9/-10), der andere wert liefert einen widerspruch. werner
01.05.2007, 14:46	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar zu b) Mir bereitet das Problem das a aus der y Komponente zu eliminieren zu c) Wie hast du denn erkannt dass es ein Kegel ist? zu d) Stimmen deine Werte für die Parameter mit meinen überein? Wenn ja dann bekomme ich aber nicht deinen Schnittpunkt.
01.05.2007, 14:56	fritscma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar hö!? Ich hab für r=3 raus und somit zwei Schnittpunkte (a=4 und a=-4) : S1(12/9/-10) und für S2(-12/9/-10) kann das sein!?
01.05.2007, 15:01	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar Jo hab nochmal nachgerechnet und bekomme bei d) auch die beiden Schnittpunkte von dir fritscma. Trotzdem habe ich schwierigkeiten bei der b das a zu eliminieren und bei c zu erkennen dass es sich um einen Kegel handelt
01.05.2007, 15:07	fritscma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar mal so ne blöde Zwischenfrage: In welche Richtung geht denn das z? wir nennen das immer x1, x2 und x3 ...
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01.05.2007, 15:11	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar In die x_3 Richtung.
01.05.2007, 15:12	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar edit: noch einmal gerechnet ich habe nun r = 3, $\begin{eqnarray} s_1 = 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s_2= -4 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a = \pm 4 \end{eqnarray}$ das heißt h schneidet die 2 geraden aus der schar mit $\begin{eqnarray} a_1= 4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_2=-4 \end{eqnarray}$ b) z=0 , r=1 $\begin{eqnarray} x= a\quad{ }y=\sqrt{25-a²}\to x²+y²=25 \end{eqnarray}$ werner
01.05.2007, 15:25	fritscma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar dadurch, dass a (wurzel(25-a^2)*3=9) zwei Lösungen hat, nämlich 4 und -4, bin ich eigentlich schon der Ansicht, dass diese zwei speziellen Geraden sich in zwei verschieden Punkten mit h schneiden, nämlich in (12/9/-10) und (-12/9/-10).. lieg ich da falsch
01.05.2007, 15:25	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar Also wir haben ja nicht für 2 Geraden 2 Schnittpunkte sondern haben durch $\begin{eqnarray} a=4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a=-4 \end{eqnarray}$ 2 verschiedene Geraden die wir mit der Geraden h schneiden und bekommen deswegen 2 Schnittpunkte. Hoffe ich schreibe da gerade keinen Quatsch . Naja Werner irgendwie begreife ich das eliminieren nicht Ich muss doch als Schnittgerade am Ende $\begin{eqnarray} \vec{x}= a\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ ? \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bekommen nur die $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ Komponente bleibt mir ein Rätsel, obwohl ich deine Umformung verstanden habe Was muss denn da nun hin?
01.05.2007, 15:28	fritscma	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar @werner: wie kommst du darauf, dass ma x^2+y^2 rechnen muss? Und was bedeutet dann die 25? Das ist ja kein Schnittgebilde oder so...
01.05.2007, 15:58	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar @musti, da schreibst du, denke ich keinen quatsch, habe es oben "zeitgleich" korrigiert. noch einmal zu b) z=0 liefert r = 1 damit das "schnitthebilde" in der xy-ebene $\begin{eqnarray} x = a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\sqrt{25-a²} \end{eqnarray}$ quadrieren und für a x einsetzen ergibt $\begin{eqnarray} K: x²+y²=25 \end{eqnarray}$ und genau genommen, ist es ein doppelkegel werner
01.05.2007, 16:07	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar Danke für die Mühe Werner Eine Frage habe ich aber noch. Spielt denn die $\begin{eqnarray} x_1- \end{eqnarray}$ Komponente mit $\begin{eqnarray} x_1=1 \end{eqnarray}$ keine Rolle? Dann müsste der Mittelpunkt des Kreises doch bei $\begin{eqnarray} P(a/0/0) \end{eqnarray}$ liegen oder? Deine Abbildung ist für $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ oder? Sorry für die evtl. dummen Fragen aber ich will das ganze zu 100% verstehen.
01.05.2007, 17:03	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar es gibt keine dummen fragen, nur dumme antworten. also habe ich es nicht gut gesagt, oder vielleicht denke ich ja auch falsch. noch einmal: ich bestimme - oder versuche es - die schnittfigur der geradenschar mit der ebene z = 0 zu bestimmen. 1) bestimme den schnitt(punkt) einer geraden mit einer ebnene: setze g in E ein: $\begin{eqnarray} z= 0 \to r=1 \end{eqnarray}$ nun ermittle ich die koordinaten des schnittpunktes, indem ich wie üblich r = 1 in die geradengleichung einsetze. das ergibt $\begin{eqnarray} x=a \quad{ } y=\sqrt{25-a²} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} S(a/\sqrt{25-a²}/0) \end{eqnarray}$ 2) zur ermittlung der kurve in der xy-ebene, die S beschreibt für $\begin{eqnarray} a \in R \end{eqnarray}$ muß ich den parameter a eliminieren, dazu quadriere ich und erhalte nach ersetzen vom a durch x: $\begin{eqnarray} x²+y²=25 \end{eqnarray}$ das ist ein kreis mit dem mittelpunkt O(0/0) und radius r = 5. hoffe ich zumindest jetzt klarer werner n.s.:du mußt momentan ein bißerl nachsicht haben mit mir, bin ziemlich konfus. muß die hochzeitrede für meine tochter aushecken - - und dazu auch ein rebus basteln, und wie es scheint, bringe ich gerade alles durcheinander
01.05.2007, 18:13	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar Danke Werner Jetzt ist es klarer Dann viel Spaß bei der ausheckung der Hochzeitsrede und beim Rebus.
01.05.2007, 19:05	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar ot: rebus ist geschafft werner
01.05.2007, 19:06	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden- und Ebenenschar Dann hoffen wir mal, dass es schön knifflig zu lösen ist

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