charakteristisches Polynom hermitescher Matrizen

01.05.2007, 17:32

Dunkit

charakteristisches Polynom hermitescher Matrizen

Hi zusammen!
Also ich soll zeigen, dass das charakteristische Polynom einer hermiteschen nxn-Matrix immer ein reelles Polynom ist. Leider habe ich noch nichtmal den Hauch einer Idee unglücklich

Außerdem soll ich dann noch zeigen, dass die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
$\begin{eqnarray*} \chi_A(X) = X^n + a_{n-1} X^{n-1} + ... + a_1X + a_0 \end{eqnarray*}$

Und die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
$\begin{eqnarray*} a_0, -a_1, a_2, ..., (-1)^{n-1} a_{n-1}, (-1)^n \end{eqnarray*}$

die Signatur der Matrix A ergeben.
Ich würde ja liebend gern einen Ansatz liefern, aber ich habe leider keinen unglücklich

01.05.2007, 18:16

Dunkit

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Zitat:

Also ich soll zeigen, dass das charakteristische Polynom einer hermiteschen nxn-Matrix immer ein reelles Polynom ist.

Dazu habe ich jetzt eine Idee bekommen: Man könnte doch zeigen, dass die Eigenwerte hermitescher Matrizen immer reell sind und dass daraus folgt, dass auch das polynom reell ist. Aber wie stelle ich das an? unglücklich

01.05.2007, 18:35

tigerbine

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Nimm mal an, sie hätten einen komplexen Eigenwert. Benutze die hermitsche Eigenschaft und führe es zum Widerspruch.

01.05.2007, 19:25

Dunkit

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hm es gibt also kein komplexes $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , sodass
$\begin{eqnarray*} Av = \overline{A}^T v= \lambda v \end{eqnarray*}$
oder ist der Ansatz falsch?

01.05.2007, 19:39

tigerbine

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Also nein. Ich habe mich vorhin auch schlecht ausgedrückt (Rüffel mich selbst) es muss natürlich $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb C \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ gemeint.

Bewisführung:

1. Hermitisch:

$\begin{eqnarray*} \overline{A} = A^{T} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist Zerfällungsköper, d.h. das char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren. Seien daher die n-Eigenwerte von A mit $\begin{eqnarray*} \lambda_i,~i=1,...,n \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Des weiteren seinen $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ die zugehörigen Eigenvektoren.

3. Was ist:

$\begin{eqnarray*} \lambda_i\cdot (v_i^T\cdot \overline{v_i}) \end{eqnarray*}$

4. Was folgt dann aus 3?

01.05.2007, 20:08

Dunkit

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hmmm bei 3.
ist das nicht $\begin{eqnarray*} \lambda_i \cdot v_i \end{eqnarray*}$

01.05.2007, 20:11

tigerbine

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Also es sollte klar sein, dass man mit dem Umformen auf etwas mit dem Konjugierten Eigenwert abzielt, oder? Wir wollen ja zeigen, dass man daraus dann folgern kann, dass die EW reell sind.

01.05.2007, 20:15

Dunkit

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jetzt bin ich verwirrt.... Was soll ich denn mit $\begin{eqnarray*} \lambda_i\cdot (v_i^T\cdot \overline{v_i}) \end{eqnarray*}$
machen?
das transponiert konjugiert komplexe davon angucken?

01.05.2007, 20:21

tigerbine

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Also, Du sollst Zeigen, dass das das gleiche ist wie:

$\begin{eqnarray*} \overline{\lambda_i} \cdot (v_i^T\cdot \overline{v_i}) \end{eqnarray*}$

Das ist Teil 3. Die Folgerungen daraus sind Teil 4.

01.05.2007, 20:36

Dunkit

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also:
$\begin{eqnarray*} \lambda_i\cdot (v_i^T\cdot \overline{v_i}) = (\overline{\lambda_i\cdot (v_i^T\cdot \overline{v_i}})^T = (v_i^T \cdot \overline{v_i} \cdot \overline{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ weil ja $\begin{eqnarray*} \lambda^T = \lambda \end{eqnarray*}$
so=

01.05.2007, 20:40

tigerbine

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Also ich habe da mit dem ersten Schritt so meine Probleme. Ich bin jetzt mal off, an 22.00 wieder on.

In "meinem" Beweis muss man auch die Eigenvektor Eigenschaft verweden (Tipp). Du kannst ja nicht einfach einen Strich über alles machen. Dann müßtest du die Gleicheit der Konjugierten Lambdas ja schon kennen. Die willst Du aber beweisen.

01.05.2007, 21:08

Dunkit

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Ok wenn du wieder on bist, was hälst du von diesem Beweis (hab mir nochma das Skript von letztem Semester angeguckt):
Wir wissen (aus einem Theorem): A hermitesch => es gibt eine unitäre Matrix g, sodass $\begin{eqnarray*} \overline{g}^T A g \end{eqnarray*}$ in Diagonalgestalt ist. Außerdem lässt g die Form definiert durch A invariant.
man betrachtet also
$\begin{eqnarray*} \lambda <v, v> = <v, \lambda v> = \overline{<\lambda v, v>} = \overline{\lambda} <v, v> \end{eqnarray*}$
und da $\begin{eqnarray*} <v, v> \neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \lambda = \overline{\lambda} \end{eqnarray*}$
Ist das so in Ordnung? verwirrt

01.05.2007, 22:43

tigerbine

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So bin mal kurz wieder online. So ganz verstehe ich deine Umformungen gerade nicht. Mag aber auch sein dass mir im Moment der Blick fehlt.

Mit meiner Schreibweise $\begin{eqnarray*} v_i^T\cdot \overline{v_i} \end{eqnarray*}$ wurde ja ein Skalarprodukt dargestellt (Der Punkt war da vielleicht irreführend von der Notation her) . Manche Bücher schreiben es vielleicht eher in der Form $\begin{eqnarray*} \overline{v_i}^T\cdot v_i \end{eqnarray*}$ .

Nun wendest du die Rechenregeln für hermitsche Formen an. Aber ohne Bezug zu nehmen, dass es sich um Eigenvektoren und Eigenwerte handelt. Wenn wir also Anfang und Ende deiner Zeile lesen, heißt dass doch, dass es keine nicht reelle Skalarmultiplikation geben kann. Das ist aber wohl falsch.

$\begin{eqnarray*} \lambda <v, v> = \\ \text{Sesquilinearform 2} \\ = <v, \lambda v> =\\ \text{hermitsche Form} \\ =\overline{<\lambda v, v>} \end{eqnarray*}$

Bis dahin ist es zwar richtig, den letzten Schritt erachte ich als falsch, aber es wird Dich nicht zum Ziel führen. Ich schreibe das Skalarprodukt wieder aus. Und der in meinen Unterlagen verwendeten Schreibweise. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lambda_i\cdot (v_i^T\cdot \overline{v_i}) &&= (\lambda_i\cdot v_i^T) \cdot \overline{v_i} = \\&&=(\lambda_i\cdot v_i)^T \cdot \overline{v_i} = \\&&=(Av_i)^T \cdot \overline{v_i} = \\&&= v_i^T\cdot A^T\cdot \cdot \overline{v_i} = \\&&=v_i^T\cdot \overline{A} \cdot \overline{v_i} = \\&&=v_i^T\cdot (\overline{\lambda} \cdot \overline{v_i}) =\\&&=\overline{\lambda} \cdot (v_i^T \cdot \overline{v_i}) \end{eqnarray*}$

Den Punkt 4, hast Du, wenn Du erwähnst dass v ein Eigenvektor ist, richtig bearbeitet und damit die entscheidende Folgerung

$\begin{eqnarray*} \lambda_i = \overline{\lambda_i} \end{eqnarray*}$

erhalten.

01.05.2007, 23:12

Dunkit

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Unser Prof nutzt tatsächlich die andere Schreibweise, das ist gerade sehr verwirrend... Wieso muss ich überhaupt immer nur <v,v> betrachten und wieso darf ich die standard-hermitesche Form nehmen? muss ich nicht die nehmen, die durch A definiert wird?

02.05.2007, 00:24

tigerbine

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Naja, die Verwirrung läßt sich ja leicht beheben, oder. Einfach umschreiben.

Dann hängen die Eigenwerte einer Matrix doch zunächst einmal nicht davon ab, welches Skalarprodukt man in einem Raum einführt. Die für unseren Beweis nötige Schlussfolgerung für 4 <v,v> > 0 außer für v=0 erfüllen ja alle.

Also dürfte die Verwendung des kanonischen Skalarprodukts keine Einschränkung des Beweises sein. Sondern mit ihm ließen sich eben die Eigenschaften: hermitesche Matrix und Eigenwert/vektor am einfachsten einbauen.

Gehen wir nur einmal davon aus, dass v vom Nullvektor verschieden ist und Lambda ein Skalar aus den komplexen Zahlen. Dann wenden wir die Rechenregeln an:

$\begin{eqnarray*} \lambda <v, v> = \\ \text{Sesquilinearform 2} \\ = <v, \lambda v> =\\ \text{hermitesche Form} \\ =\overline{<\lambda v, v>}= \\ \text{Sesquilinearform 1} \\ = \overline{\overline{\lambda}<v,v>} = \\ \lambda \overline{<v,v>} = \\ \text{hermitesche Form} \\ =\lambda <v, v> \end{eqnarray*}$

Damit ist man aber wieder am Anfang. Also müßte der Trick des Beweises gerade in der Verwendung des kanonischen Skalerproduktes leigen.

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