die vielleicht dümmsten geldfälscher [gelöst]

26.12.2004, 11:30

riwe

die vielleicht dümmsten geldfälscher [gelöst]

zwei geldfälscher haben sich überlegt, dass man jeden betrag > 7 € mit geldscheinen im wert von 3 und 5 € bezahlen kann. daher beschlossen sie, diese scheine zu drucken und waren vollkommen überrascht, als sie beim ersten einkauf ertappt wurden.
zeige, dass sie zumindest mathematisch talentiert waren.

einen guten rutsch
werner

26.12.2004, 13:01

MaggotManson

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Moin

Also, anschaulich ist das ja nicht schwer:
08 = 0 * 8 + 08 = 5 + 3
09 = 0 * 8 + 09 = 3 + 3 + 3
10 = 0 * 8 + 10 = 5 + 5
11 = 0 * 8 + 11 = 5 + 3 + 3
12 = 0 * 8 + 12 = 3 + 3 + 3 + 3
13 = 0 * 8 + 13 = 5 + 5 + 3
14 = 0 * 8 + 14 = 5 + 3 + 3 + 3
15 = 0 * 8 + 15 = 5 + 5 + 5

16 = 1 * 8 + 08 = (5+3) + (5+3)
17 = 1 * 8 + 09 = (5+3) + (3+3+3)
18 = 1 * 8 + 10 = (5+3) + (5+5)
19 = 1 * 8 + 11 = (5+3) + (5+3+3)
20 = 1 * 8 + 12 = (5+3) + (3+3+3+3)
21 = 1 * 8 + 13 = (5+3) + (5+5+3)
22 = 1 * 8 + 14 = (5+3) + (5+3+3+3)
23 = 1 * 8 + 15 = (5+3) + (5+5+5)

24 = 2 * 8 + 08 = (5+3)+(5+3) + (5+3)
25 = 2 * 8 + 09 = (5+3)+(5+3) + (3+3+3)...

Nur das müsste man doch auch irgendwie mathematisch korrekt beweisen können, oder nicht?
Irgendwie, dass jede Zahl $\begin{eqnarray*} n > 7, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sich als $\begin{eqnarray*} k * 8 + r, k,r \in \mathbb N, 7 < r < 16 \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.
$\begin{eqnarray*} k * 8 \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} k * (5+3) \end{eqnarray*}$ und r entsprechend seinem Wert, siehe oben.
Naja, das geht sicherlich besser.

26.12.2004, 17:48

Emp

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Das kommt mir vor, wie Primfaktorzerlegung, wobei du bspw. 2^3 als 5+3 schreibst. 2^2 existiert nicht, brauchst Du aber für x > 7 auch nicht zwingend, da kannst Du immer irgendwie anders darstellen. Allerdings kann ich Dir auch nicht sagen, wie Du das formal korrekt aufschreibst. Evtl. textuell formulieren, wenn Dein Prof/Lehrer das akzeptiert.

26.12.2004, 21:19

riwe

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klar soll man es beweisen!
primfaktorzerlegung????

tip: die vollständige induktion ist nicht nur dazu da zu beweisen, dass alle kühe lila sind
werner

26.12.2004, 22:00

Mathespezialschüler

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Satz: Sei n eine Zahl $\begin{eqnarray*} \geq 8 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} n=5a+3b \end{eqnarray*}$ ist.

Lemma: Jedes $\begin{eqnarray*} n\geq 8 \end{eqnarray*}$ ist in der Form

$\begin{eqnarray*} n=8q+r\ \ \ \ \ q\in \mathbb N\ ,\ r\in \mathbb N_0\ , \ \ 0\leq r<8 \end{eqnarray*}$

darstellbar.

Beweis für den Satz:
Sei r=0, dann ist

$\begin{eqnarray*} n=8q=5q+3q \end{eqnarray*}$

n also in der gewünschten Form darstellbar. Die anderen Fälle für r jetzt ohne Kommentar:

r=1. $\begin{eqnarray*} n=8q+1=5(q-1)+3(q-1)+9=5(q-1)+3(q+2) \end{eqnarray*}$

r=2. 1. Fall: q=1, dann ist $\begin{eqnarray*} n=10=8\cdot 1+2=5\cdot 2+3\cdot 0 \end{eqnarray*}$
2. Fall: $\begin{eqnarray*} q\geq 2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} n=8q+2=5(q-2)+3q+12=5(q-2)+3(q+4) \end{eqnarray*}$

r=3. $\begin{eqnarray*} n=8q+3=5q+3(q+1) \end{eqnarray*}$

r=4. $\begin{eqnarray*} n=8q+4=5(q-1)+3q+9=5(q-1)+3(q+3) \end{eqnarray*}$

r=5. $\begin{eqnarray*} n=8q+5=5(q+1)+3q \end{eqnarray*}$

r=6. $\begin{eqnarray*} n=8q+6=5q+3(q+2) \end{eqnarray*}$

r=7. $\begin{eqnarray*} n=8q+7=5q+3(q-1)+10=5(q+2)+3(q-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Box \end{eqnarray*}$

Das wars. Oder will jmd. noch nen Beweis für das Lemma sehen??

PS: Mit Induktion gehts auch, wahrscheinlich auch schneller...

edit: Der Induktionsbeweis:

Sei $\begin{eqnarray*} n=5a+3b \end{eqnarray*}$ .

1. Fall a=0, dann ist $\begin{eqnarray*} b\geq 3 \end{eqnarray*}$ , denn wäre $\begin{eqnarray*} b\leq 2 \end{eqnarray*}$ , so wäre $\begin{eqnarray*} n=3b\leq 6 \end{eqnarray*}$ , n ist aber nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \geq 8>6 \end{eqnarray*}$ , Widerspruch. Mit der Induktionsvoraussetzung ergibt sich nun:

$\begin{eqnarray*} n+1=3b+1=3(b-3)+10=3(b-3)+5\cdot 2 \end{eqnarray*}$

2. Fall b=0, dann ist $\begin{eqnarray*} a\geq 2 \end{eqnarray*}$ , denn wäre $\begin{eqnarray*} a\leq 1 \end{eqnarray*}$ , so wäre $\begin{eqnarray*} n=5a\leq 5 \end{eqnarray*}$ , n ist aber nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \geq 8>5 \end{eqnarray*}$ , Widerspruch. Mit der Induktionsvoraussetzung ergibt sich wieder:

$\begin{eqnarray*} n+1=5a+1=5(a-1)+6=5(a-1)+3\cdot 2 \end{eqnarray*}$

3. Fall $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \neq b \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} n+1=5a+3b+1=5(a-1)+3b+6=5(a-1)+3(b+2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Box \end{eqnarray*}$

, womit alles gezeigt ist.

27.12.2004, 00:31

pimaniac

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Das geht doch viel einfacher:

8=5+3
9=3+3+3
10=5+5

alle anderen kann man nun auch mit 5ern und 3ern bezahlt wenn man zu 8,9 oder 10 einfach oft genug 3 dazugibt!

qed. :-)

Kann mir eigentlich wer erklären warum die Typen nich einfach 1er Scheine gedruckt haben?

Dann hätt ma weder was beweisen müssen noch hätten sie wahrscheinlich probleme bekommen, weil man sicher genug trotteln einreden kann dass es 1er scheine gibt

27.12.2004, 12:32

riwe

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Zitat:

Original von pimaniac
Das geht doch viel einfacher:

8=5+3
9=3+3+3
10=5+5

alle anderen kann man nun auch mit 5ern und 3ern bezahlt wenn man zu 8,9 oder 10 einfach oft genug 3 dazugibt!

qed. :-)

Kann mir eigentlich wer erklären warum die Typen nich einfach 1er Scheine gedruckt haben?

Dann hätt ma weder was beweisen müssen noch hätten sie wahrscheinlich probleme bekommen, weil man sicher genug trotteln einreden kann dass es 1er scheine gibt

genauso geht es

sie druckten vermutlich keine 1 € scheine, weil sie eben zu blöd waren

werner

einfach und "genau" gehts mit vollständiger induktion:

1) N = 8 = 5 + 3
2) gelte für N > 8
2.1) N sei durch 3 teilbar,
dann kann ich den betrag durch lauter 3 € scheine darstellen, mindestens brauche ich davon 3.
ich ersetze 3 3 € durch 2 5€ -scheine
B = N - 3*3 + 2*5 = N + 1
2.2) ansonsten gibt es mindestens 1 5€,
ersetzte diesen durch 2 3€ scheine.
B = N - 5 + 2*3 = N + 1

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