Mittelwertsatz, Abschätzung einer Differenz

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26.12.2004, 16:41	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz, Abschätzung einer Differenz Hallo, Ich kann folgende beide Aufgaben nicht lösen, da mir nicht klar ist, wie ich heran gehen soll: Mit dem Mittelwertsatz gebe man eine Abschätzung für a) \| sqrt(1.0002) - 1 \| b) \| 0.9998^4 - 1 \| Kann mir jemand erklären was bzw. wie ich da machen soll? Ich weiß nicht, wie ich den Mittelwertsatz auf die Aufgabenstellung beziehen soll
26.12.2004, 17:14	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei a) kannst du erstmal sagen, dass $\begin{eqnarray} \|\sqrt{1,0002}-1\|=\sqrt{1,0002}-1 \end{eqnarray}$ ist. Hier ist die Funktion ja offensichtlich $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ . Dann gibt es doch nach dem Mittelwertsatz ein $\begin{eqnarray} x_0\in (1;1,0002) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \sqrt{1,0002}-\sqrt{1}=0,0002\cdot f'(x_0) \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray} f'(x_0) \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen und dann hast du deine Abschätzung. Bei b) genauso.
26.12.2004, 17:16	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz, Abschätzung einer Differenz Hallo Emp, Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lautet: Im abgeschlossenen Intervall [a,b] sei f(x) stetig und im offenen Intervall ]a,b[ differenzierbar. Dann gibt es in ]a,b[ mindestens ein x, für das gilt: $\begin{eqnarray} f'(x)=(f(b)-f(a))/(b-a) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in ]a,b[ \end{eqnarray}$ . In deinem Fall gilt a=1, b=1.0002 und $\begin{eqnarray} f(x)=sqrt(x) \end{eqnarray}$ . Damit hast du alle Elemente, um $\begin{eqnarray} \|f(b)-f(a)\|=\|sqrt(1.0002)-sqrt(1.000)\| \end{eqnarray}$ nach oben abzuschätzen. Versuch's mal! Gruss yeti @Mathespezialschüler: Sorry, kam zu spät! yeti
26.12.2004, 17:30	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ich nicht verstehe ist, wie ihr auf einmal auf sqrt(1) kommt... Bin wohl etwas blockert Edit: Meine Abschätzungen sind für a) f'(x) < 0,0009999999... und für b) f'(x) < -0,00799999... kann das so stimmen? Allerdings verstehe ich auch noch nicht 100% warum, da ich eben nicht weiß wie man den "Sprung" auf bspw. sqrt(1.0002)-sqrt(1) macht.
26.12.2004, 17:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also deine Abschätzungen kommen mir etwas wirr vor und worauf sind sie bezogen?? Wie kommst du darauf? Also wie man auf $\begin{eqnarray} \sqrt{1} \end{eqnarray}$ kommt: Wenn in der Aufgabe steht Mittelwertsatz und dann sehe ich eine Differenz $\begin{eqnarray} \sqrt{1,0002}-1 \end{eqnarray}$ , dann denke ich da so: Wenn ich die Differenz darstellen kann mithilfe einer Funktion f, also $\begin{eqnarray} \sqrt{1,0002}-1=f(b)-f(a) \end{eqnarray}$ dann kann ich ja nach dem Mittelwertsatz ein $\begin{eqnarray} x_0\in (a,b) \end{eqnarray}$ finden, sodass $\begin{eqnarray} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(x_0) \end{eqnarray}$ . Will ich jetzt $\begin{eqnarray} f(b)-f(a) \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen, so muss ich nur $\begin{eqnarray} f'(x_0) \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen. Das waren meine Vorgedanken (auch wenn das in meinem Kopf innerhalb von weniger als 1 Sekunde ging). Also brauch ich ne Funktion, sodass $\begin{eqnarray} f(b)=\sqrt{1,0002} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(a)=1 \end{eqnarray}$ . Da fällt einem dann sofort $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ ein, denn $\begin{eqnarray} f(1,0002)=\sqrt{1,0002} \end{eqnarray}$ steht ja schon da, das ist also mal die erste Funktion, die ich überprüfe und wie schön: Es ist $\begin{eqnarray} 1=\sqrt{1}=f(1) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sqrt{1,0002}-1=f(1,0002)-f(1) \end{eqnarray}$ . Und jetzt habe ich ne Funktion, nun kann ich das mit dem Mittelwertsatz abschätzen. Das mal in sehr detaillierten Zügen mein Gedankengang. Zeig mal bitte, wie du auf diese Abschätzungen kommst, sie sind mir völlig unverständlich!
26.12.2004, 18:10	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich denke ich habe das Vorgehen jetzt verstanden. Mein Abschätzungen erhielt ich, in dem ich sagte wenn srt(1.0002)-sqrt(1)=0,0002 * f'(x) sein soll und ich den Wert von f'(x) wissen will, muss ich ja nur diese Gleichung nach f'(x) auflösen und ausrechnen. Und da erhielt ich bei a eben (abgeschätzt, gerundet..) 0,99999... Ist das falsch?
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26.12.2004, 18:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du sollst doch f'(x) abschätzen und nicht ausrechnen! Abschätzen heißt eine Ungleichung aufzustellen, also $\begin{eqnarray} f'(x)<\mbox{irgendwas} \end{eqnarray}$ . Und damit sollst du dann eine Ungleichung für $\begin{eqnarray} \sqrt{1,0002}-1 \end{eqnarray}$ aufstellen. Außerdem kannst du f'(x) gar nicht ausrechnen, weil du $\begin{eqnarray} \sqrt{1,0002} \end{eqnarray}$ gar nicht kennen darfst. Du darfst es also auch nicht in den TR eingeben ... Und wenn du 0,99999999... erhalten hast, dann wäre ja $\begin{eqnarray} f'(x)=0,999999999... \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} f'(x)=0,9999999... \end{eqnarray}$ . Wie du es eigentlich machen sollst, ist so: Gib die Funktion f'(x) explizit an! Wegen $\begin{eqnarray} 1<x<1,0002 \end{eqnarray}$ kannst du dann eine Abschätzung für f'(x) gewinnen und bist fertig.
26.12.2004, 18:39	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, sei mir nicht böse aber ich verstehe es anscheinend immer noch nicht. Nach einiger Überlegung wäre ich dann bei f'(x) < x^(-4) ... Aber das ist doch bestimmt auch nicht richtig? Magst Du mir evtl. die Abschätzung für die erste Aufgabe angeben, dann mache ich die zweite selbst und kontrolliere so ob ich es verstanden habe... Sorry, bin da wohl gerade ein Härtefall Danke für Deine Geduld...
26.12.2004, 19:01	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nagut, also die Ableitung ist ja $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} 1<x<1,0002 \end{eqnarray}$ folgt also dann??
26.12.2004, 19:05	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, es ging um die Ableitung der Wurzelfunktion, argh Die Abschätzung muss dann 0.2 sein?
26.12.2004, 19:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie, die Abschätzung muss 0,2 sein? 0,2 ist für mich eine Zahl, keine Abschätzung ... Da müsste doch irgendwie sowas stehen wie $\begin{eqnarray} f'(x)<a \end{eqnarray}$ mit a als irgendeine Zahl und a sollst du heraus finden.
26.12.2004, 19:13	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ich meine ja, f'(x) < 0.2 ...
26.12.2004, 19:17	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie kommst du dadrauf? (letzter Versuch )
26.12.2004, 19:21	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Arghs .... Na indem ich mir überlegt habe, dass wenn für f'(x) das Erg. zw. 1 und 1.0002 liegen soll, x diesen Wert annehmen muss... Denn 0.1 wäre offensichtlich zu klein und 0.3 schon wieder zu groß, aber 0.2 würde im Intervall liegen.
26.12.2004, 19:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht f'(x) liegt zwischen 1 und 1,0002, sondern x liegt dazwischen!!! Also ich zeigs mal: $\begin{eqnarray} 1<x \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} 1<\sqrt{x} \end{eqnarray}$ und daraus $\begin{eqnarray} 1>\frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ und daraus nochmal $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}>\frac{1}{2\sqrt{x}}=f'(x) \end{eqnarray}$ , also: $\begin{eqnarray} f'(x)<\frac{1}{2}=0,5 \end{eqnarray}$ ! und somit gilt, da es ein $\begin{eqnarray} x_0\in (1;1,0002) \end{eqnarray}$ gibt, also insbesondere $\begin{eqnarray} x_0>1 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} f'(x_0)<0,5 \end{eqnarray}$ ist. Und jetzt angwandt auf das Anfangsproblem: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{1,0002}-1\|=\sqrt{1,0002}-1=0,0002\cdot f'(x_0)<0,0002\cdot 0,5=0,0001 \end{eqnarray}$ fertsch
26.12.2004, 20:19	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach langem Hinstarren, glaube ich nun es verstanden zu haben!

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