Nullstelle der Zeta-Funktion

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26.12.2004, 16:54	davidxy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle der Zeta-Funktion $\begin{eqnarray} \zeta (z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z}<br /> \end{eqnarray}$ nehme man $\begin{eqnarray} z = -2 \end{eqnarray}$ es wird behauptet dass $\begin{eqnarray} \zeta (-2) = 0 \end{eqnarray}$ sei. wenn ich das aber einsetze sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{-2}} \end{eqnarray}$ weiter: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray}$ oder: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray}$ gekürzt gibt das dann: $\begin{eqnarray} \frac{1n^2}{11} \end{eqnarray}$ sprich $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ und die summe aller quadraten ( $\begin{eqnarray} 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2+... \end{eqnarray}$ ) ergibt meiner meinung etwas anderes als 0, so etwas wie $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . kann mir jemand erklären was ich hier falsch verstanden habe? danke
26.12.2004, 18:41	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zetafunktion $\begin{eqnarray} \zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty ~ \frac{1}{n^{s}} \end{eqnarray}$ ist so nur für $\begin{eqnarray} s\geq 1 \end{eqnarray}$ definiert. s=1 divergiert und für s>1 konvergiert. Gleichzeitig gilt auch $\begin{eqnarray} \zeta(s):=\Pi_p (\frac{1}{1-p^{-s}}) \end{eqnarray}$ . Da siehts dann schon anders aus...
26.12.2004, 19:03	davidxy	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe nicht ganz was das bedeuten soll: was ist mit dem ersten zeichen nach dem entspricht gemeint? ( $\begin{eqnarray} \Pi_p \end{eqnarray}$ ) und was ist mit p gemeint? eine primzahl?
26.12.2004, 19:39	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, sorry. zu schlecht und wenig erklärt. p ist Primzahl, ja. Und das $\begin{eqnarray} \Pi_p \end{eqnarray}$ soll ein "Produkt über alle p" sein. Ich wusste nicht, wie man das ordentlich schreibt... Ich kann Dir leider auch keinen sauberen Beweis liefern. Ich wäre selbst interessiert daran. Ich weiß nur soviel, dass man $\begin{eqnarray} \zeta(s)=\prod_p{\frac{1}{1-p^{-s}} } = \sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^{s}} \end{eqnarray}$ definiert hat. Das könnte man sich so überlegen: $\begin{eqnarray} \prod_p{(1+\frac{1}{p}+ \frac{1}{p^{2}} +...)}= (1+\frac{1}{2} +\frac{1}{2^{2}}+...)(1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3^{2}}+...)(1+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{5^{2}}+...)\\=1+ \frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{5} +\frac{1}{23} +... =\sum_{n=1}^\infty~ \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Jetzt ist nur noch zu zeigen: $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{p}+ \frac{1}{p^{2}} +...=\frac{1}{1- \frac{1}{p}} \end{eqnarray*}$ Wie diese geometrische Reihenentwicklung zustande kommt, würde mich auch interessieren... weiß ich nicht. grumml....
26.12.2004, 20:08	davidxy	Auf diesen Beitrag antworten »
muss man nicht unter das multiplikationszeichen so was schreiben: $\begin{eqnarray} \prod_{a=b}^c \end{eqnarray}$ und erst dann $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-p^{-s}} \end{eqnarray}$ ? dann weiter unten hast du dann was anderes, nämlich kommt da das s ( $\begin{eqnarray} \zeta(s) \end{eqnarray}$ ) gar nicht mehr vor, dafür haben wir eine unendliche mutliplikation, von unendlich vielen faktoren mit je unendlich vielen summanden, was auch kompliziert wird. dann fehlt am schluss wieder das s bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . noch ne frage, muss man ein P bestimmen, oder sind die auch immer alle P's ? .... ah jetzt hab ichs verstanden (oberes übersehen), aber jetzt fehlt ja das S. die rechnung gibt immer das gleiche ( $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ). wie gesagt mein problem ist jetzt, wie bring ich das S wieder in die gleichung? (nicht s = 1) das ist das einzige was ich noch wissen will (hoffentlich) wo ist das S bei $\begin{eqnarray} 1+\frac{1}{p}+ \frac{1}{p^{2}} +...=\frac{1}{1- \frac{1}{p}} \end{eqnarray}$
26.12.2004, 20:09	davidxy	Auf diesen Beitrag antworten »
da ich nicht editieren kann: ich meine auf der Linken seite der Gleichung!
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26.12.2004, 21:33	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, es war ungeschickt von mir, beide male p zu schreiben. ich hätte einmal q nehmen sollen. dann kannst du $\begin{eqnarray} q=p^{s} \end{eqnarray}$ substituieren. Es ist doch völlig egal, ob da p oder $\begin{eqnarray} p^{2} \end{eqnarray}$ steht, die Umformung gilt trotzdem. Schreib Dir das s einfach drüber. Bei n kannst Du es allerdings nicht einfach drüber schreiben. Ich weiß momentan nicht, wie das da geht... vielleicht klingt sich ja nochmal jemand hier ein, der mehr Ahnung hat. $\begin{eqnarray} \prod_p \end{eqnarray}$ heißt, Produkt über alle Primzahlen. Da braucht man keine obere Schranke. (das ist mit Sicherheit nicht Deine letzte Frage.... ) grumml...
26.12.2004, 22:55	davidxy	Auf diesen Beitrag antworten »
nehmen wir also mal Z=2, ist das dann so richtig: $\begin{eqnarray} \zeta(Z)=\zeta(2)=\prod_p(1+\frac{1}{p^4}+\frac{1}{p^6}+...)=\prod_p\frac{1}{1-\frac{1}{p^2}}=\prod_p\frac{p^2}{p^2-1}=\sum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^{2}}:=\frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray}$ Oder? Danke auf jeden Fall
26.12.2004, 23:51	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
beim ersten Produkt hast Du das $\begin{eqnarray} \frac{1}{p^{2}} \end{eqnarray}$ vergessen, ansonsten stimmts... (man sollte trotzdem nicht vergessen, dass diese Umformung eben nur für $\begin{eqnarray} s\geq 1 \end{eqnarray}$ gilt.) Wäre trotzdem dankbar, wenn nochmal jemand was zu den geometrischen Reihen sagen würde, da wir ja die Umwandlung hier nur hingenommen und nicht begründet haben...
27.12.2004, 19:31	davidxy	Auf diesen Beitrag antworten »
nehmen wir $\begin{eqnarray} \zeta(-2) \end{eqnarray}$ , was eine Nullstelle sein soll, dann ergibt sich: $\begin{eqnarray} \prod_p\frac{1}{1-\frac{1}{p^{-2}}} \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{p^{-2}}:=1-p^2 \end{eqnarray}$ ist, ergibt sich nun also $\begin{eqnarray} \prod_p\frac{1}{1-p^2} \end{eqnarray}$ , was tatsächlich $\begin{eqnarray} ±0 \end{eqnarray}$ ergibt. nehmen wir $\begin{eqnarray} \zeta(-3) \end{eqnarray}$ , was angeblich keine sein soll, dann ergibt sich: $\begin{eqnarray} \prod_p\frac{1}{1-\frac{1}{p^{-3}}} \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{p^{-3}}:=1-p^3 \end{eqnarray}$ ist, ergibt sich nun also $\begin{eqnarray} \prod_p\frac{1}{1-p^3} \end{eqnarray}$ , was auch $\begin{eqnarray} ±0 \end{eqnarray}$ ergibt.
27.12.2004, 20:39	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
...ja, das ist natürlich vollkommen richtig. Mein Ansatz ist völlig hinfällig. Richtig ist wohl, dass man die Zeta Funktion wohl auch in irgendeine Funktionalgleichung in Verbindung mit der Gammafunktion bringen kann und diese wiederum so Polstellen hat, dass an diesen geraden negativen ganzen Zahlen die Zetafunktion ihre trivialen Nullstellen hat. Hab ich da www.kbs.uni-hannover.de/~brase/Haupt.pdf gelesen.... Da gibts n Haufen Doktorarbeiten/Dissertationen drüber. Musst Du suchen, wenns hier kein anderer erklärt. weiß auch leider nicht mehr drüber...

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