Analytische Geometrie - Vektoren |
| 27.12.2004, 11:07 | amore | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Analytische Geometrie - Vektoren ich bin gerade dabei Abi Aufgaben durchzurechnen, also mich so ein bissle vorbereiten. Jetzt fällt es mir schwer folgende Aussage aufzunehmen. "e1 sei die eben durch die punkte a(2/4/-1), b(3/7/-5), c(-1,9,-10)" "e2 sei die ebene, bezüglich der die punkte p(7/5/7), p'(-1/1/-5) spiegelbildlich liegen." so ich nehme mal an das ich bei e1 mit den 3 punkten einfach die parametergleichung aufstelle, aber was ist bitte bei e2 gemeint ? - da blicke ich komplett nicht durch. ich brauche die parametergleichungen, damit ich sie in koordinatengleichungen umwandeln kann - für die aufgabenbereiche. also wie ist e2 gemeint ?! |
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| 27.12.2004, 11:49 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Analytische Geometrie - Vektoren 1. Du brauchst keine Parametergleichung, wenn du die Koordinatengleichung aufstellen willst. Woher hast du das? Was du für die Ebenengleichung brauchst, ist: 1 Punkt, der auf der Ebene liegt und den Normalvektor der Ebene und dann setzt du in folgende Formel ein und multiplizierst sie aus: Normalvektor * X = Normalvektor * Punkt Damit du den Normalvektor bilden kannst, brauchst du 2 Richtungsvektoren der Ebene und von denen bildest du dann das Kreuzprodukt. Denn das ist dann der Normalvektor der Ebene. Da du bei Ebene1 drei Punkte gegeben hast, kannst mit denen 2 Richtungsvektoren bilden, davon das Kreuzprodukt und kannst in obige Ebenengleichung einsetzen. Bei Ebene2 ist folgendes gemeint: Die 2 gegebenen Punkte sind Spiegelpunkte deiner Ebene. Das heißt, die Ebene geht durch den Mittelpunkt der Strecke PP' und steht im rechten Winkel auf die Strecke PP', denn somit sind P und P' von der Ebene gleich weit entfernt. Das ist, wie wenn du genau zwischen diese beiden Punkte ein Blatt Papier legst ( Eine Ebene ist nix anderes als ein Blatt Papier, das sich durchs ganze Universum spannt). Versuch selbst, diese Ebene2 aufzustellen, indem du überlegst, was du von dieser Ebene brauchst, um in obige Formel einzusetzen. Wenn du nicht weiter weißt, helf ich dir gern weiter. lg kiki |
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| 27.12.2004, 11:53 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast da einen Punkt und jetzt sollst du eine Ebene so stellen, dass, wenn du den Punkt an der Ebene spiegelst, der andere Punkt rauskommt. Damit lässt sich schon einiges anfangen (Du kannst einen Punkt der Ebene berechnen, nämlich den Mittelpunkt der beiden Punkte. Dann steht die Verbindung beider Punkte senkrecht auf der Ebene ... ) |
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| 27.12.2004, 12:06 | amore | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok... alles klar ich hab mir das mal aufgezeichnet. wenn die ebene orthognal auf der strecke p und p1 liegt, muss der vektor der durch p und p1 erstellt wird der normalenvektor der ebene sein. also (-1/1/-5)-(7/5/7)=(-6/-4/-12) (x-p)*n wäre dann die normalenform... allerdings fehlt mir ja jetzt ein punkt auf der ebene... kann ich da einfach den mittelpunkt der strecke pp' nehmen ? also (1/2)*(-6/-4/-12)=(-3/-2/-6) ? (x-(-3/-2/-6))*(-6/-4/-12) ?! |
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| 27.12.2004, 12:07 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja klar, der liegt genau auf der Ebene drauf... lg kiki edit: übrigens kannst du deinen Vektor kürzen. Denn sonst müsstest du deine Gleichung kürzen und wenn du das nicht siehst, gibts Punkteabzug bei einer Klausur. lg kiki |
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| 27.12.2004, 12:13 | amore | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok alles klar... nächstes problem ... wie zeige ich das x1-3y-2z=-8 bzw 2x+y+3z=12 kkordinatengleichungen von e1 bzw e2 sind ?! da hack ich irgendwie :/ |
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| 27.12.2004, 12:14 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Indem du in meine obige Formel einsetzt und ausmultiplizierst!!!!! Oder, indem du deine Gleichung ausmultiplizierst! lg kiki |
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| 27.12.2004, 12:18 | amore | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab ja die gleichung ausmultipliziert. da kommt fuer e1 7/13x+y+8/13z=48/13 und für e2 -6x-4y-12z=98 raus.... aber die stimmen ja mit den anderen nicht überein... |
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| 27.12.2004, 12:19 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
DAS ist keine Gleichung! Und daher auch keine Ebenengleichung! Schau mal nach, wie die Normalenform geht. Eine Gleichung braucht ein "=" und links davon steht was und rechts davon.....sonst ist's keine Gleichung! |
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| 27.12.2004, 12:21 | amore | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja ist mir klar =0 würde dann da stehen..... aber wie beweise ich denn jetzt das das kooridnatengleichungen der eben sind... ist ja ausmultipliziert siehe letzten beitrag |
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| 27.12.2004, 12:22 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja...du hättest vielleicht mal lesen sollen, was ich da oben geschrieben hab. Wenn du deinen Vektor nicht durchkürzt, dann kommen bei dir ungekürzte Gleichungen raus, die daher dann auch nicht das wirkliche Endergebnis sind. Das Prinzip einer Gleichung ist, dass man mit ihr machen kann, was man will, solange man es mit der kompletten linken Seite macht und mit der kompletten rechten Seite. Bring also deine Gleichungen auf eine schöne Form. Der Bruch bei deiner 1. Gleichung stört da ein bisserl...außerdem könnts sein, dass du dich da verrechnet hast. lg kiki |
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| 27.12.2004, 12:24 | amore | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm... ok ich versuchs danke 
weitere frage .) : wie bringt ich 2 koordinatengleichungen zum schnitt ? und wie erstelle ich eine koordinaten gleichung die parallel zu einer anderen koordinatengleichung sein soll ? kann ich das an x,y,z ablesen ?! |
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| 27.12.2004, 13:11 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das x, das y und das z sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes X, der auf deiner Ebene liegt. Denn die Ebenengleichung ist dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt X (x/y/z), der auf der Ebene liegt, berechnen kannst. Das heißt, wenn man z.b. Ebene und Gerade miteinander schneidet, dann sucht man den einzigen Punkt, der auf beiden drauf liegt. Das heißt, der Punkt X der Gerade soll der Punkt X von der Ebene sein. Man drückt sich aus der Geradengleichung das x, das y und das z aus und setzt es für x, y und z in die Ebenengleichung ein. Wenn du 2 Ebenen miteinander schneidest, dann ist das so, als würdest du 2 Blatt Papier ineinander stecken, also kommt kein Punkt heraus, sondern eine Gerade. Und dieses Verfahren ist ein bisserl komplizierter, weil du ja 3 Unbekannte hast ( x, y, z), aber nur 2 Ebenengleichungen. Ist das in der Aufgabenstellung verlangt? Oder nur Interessensfrage von dir? Denn dann rechne ich dir das einmal vor, damit du nachvollziehen kannst, wie man das rechnet. Zur 2. Frage: Was weiß man über Geraden und Ebenen, die parallel sind? Dass sie die gleiche Richtung haben, daher haben sie den gleichen Richtungsvektor, bzw. den gleichen Normalvektor. Von der Koordinatengleichung einer Ebene kann man sich den Normalvektor der Ebene ablesen: z.b. E: 3x - 4y - 2z = 15 Normalvektor = ( 3 / -4 / -2) Und alles, was du für die Ebenengleichung brauchst, ist ein Normalvektor der Ebene und einen Punkt der Ebene. lg kiki |
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| 27.12.2004, 13:50 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Übrigens hab ich grad gesehen, dass du den Mittelpunkt der Strecke PP' falsch berechnet hast. Den Mittelpunkt einer Strecke berechnet man so: M(StreckeAB) = 1/2 * ( A + B) Du kannst nicht einfach den Vektor halbieren, denn dann bekommst du keinen Punkt heraus. Ein Punkt ist fixiert im Koordinatensystem, ein Vektor ist ein Pfeil und der ist nicht fixiert im Koordinatensystem, der springt dauernd herum, aber immer mit der gleichen Länge und mit der gleichen Richtung. Wenn du daher einen Vektor halbierst...welcher Punkt sollte das denn sein dann? lg kiki |
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