Integralberechnung ohne Hauptsatz

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Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »
Integralberechnung ohne Hauptsatz
hallo, ich bin hier etwas aufgeschmissen und komme einfach nicht weiter. die aufgabe besteht darin, ein integral ohne verwendung des hauptsatzes zu berechnen, also nehme ich mal an mit limes und ober- und untersumme bzw. summenformel. nur leider habe ich absolut keine ahnung wie das gehen soll.
das integral ist:



n, also die anzahl der rechtecke, muss gegen laufen, wenn ich alles richtig verstanden habe.

dann müsste es meiner meinung nach irgendwie so aussehen:



oder bin ich da komplett auf dem holzweg? sorry, aber mehr kriege ich irgendwie nicht zusammengereimt verwirrt

wäre für jeden ansatz dankbar (bitte nicht sofort die lösung verraten, ist eine übungsaufgabe für die klausur!).
Bloodman Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du mir sagst was du unter "hauptsatz" verstehst kann ich dir vielleicht helfen...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mit Ober- und Untersummen geht das!
Jetzt musst du nur erstmal eine Untersumme bilden. Also wir teilen das Intervall [0,2] in n Teile. Dann ist die Untersumme



Jetzt musst du nur noch n bißchen einsetzen (die f(...)) und dann eine Summenformel anwenden und dann kannst du n gegen unendlich laufen lassen Augenzwinkern

edit: @Bloodman
Der Hauptsatz besagt, dass, wenn es zu f eine Stammfunktion F gibt, dann gilt.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung ohne Hauptsatz
Du musst mal eine allgemeine Formel für die Obersumme und für die Untersumme erstellen.
Das heißt, du zeichnest dir die Parabel, dann teilst die in gleich große Intervalle ein. Zeichnest die Obersummenrechtecke und die Untersummenrechtecke und stellst dir dann anhand der Skizze eine allgemeingültige Formel auf, denn beim Subtrahieren von beiden Summen heben sich alle Rechtecke auf, bis aufs erste und aufs letzte. Und weil ja der Flächeninhalt eines Rechtecks ...Länge * Breite ist und die Breite deine Intervalllänge und die Länge des Rechtecks der jeweilige y-Wert an deiner x-Stelle, so kannst du dir dann die Intervalllänge herausheben, weil ja alle Rechtecke dieselbe Breite (=deine Intervalllänge) haben. Daher steht dann das, was du da oben geschrieben hast:

2/n...denn dein Intervall ist 2 cm lang und du teilst es in n Teile. Daher ist jedes Intervall dann 2/n cm breit, bzw. das ist dann die jeweilige Breite deiner Rechtecke.

lg kiki

ok....dann ist meins viel zu kompliziert. Mathespezialschüler hats einfacher erklärt.

kiki

edit: Dopelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@kikira
Bitte die edit-Funktion benutzen ...
Deins is nich kompliziert, es is das gleiche Prinzip. Nur, dass ich es schon umgesetzt habe. Natürlich kann man auch noch die Obersumme



bilden und n gegen unendlich laufen lassen. Aber es wird das gleiche rauskommen.

Übrigens kannst du die Einheiten auf der x-Achse nicht in cm angeben, denn 1 ist ja einfach nur Einheit, die kann auch 2cm betragen ..., es ist ein Intervall der Länge 2, aber nicht der Länge 2cm! (cm wäre dann physikalisch!).
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, ich verstehs immer noch nicht wirklich Forum Kloppe

also natürlich erst mal danke für die schnellen antworten.
was ich nicht ganz durchblicke: warum ...
wie kikira schon sagte, es ist ja breite () * höhe. die höhe müsste ja demnach sein. aber da komme ich nicht ganz mit... mir ist schon klar, dass man an dieser stelle den y-wert der funktion berechnet, aber mir ist nicht ganz klar wie man jetzt auf diese rechnung kommt. wenn mich nicht alles täuscht, bezeichnet k sozusagen den "index" des rechteckes, das man gerade berechnet. aber warum heißt es 2k? und warum nochmal durch n?
und angenommen ich hätte schon die ober- und untersumme berechnet - ich habe auch nicht ganz verstanden wie es dann weitergeht... :-/
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nochmal: Die Untersumme bildest du, indem du die Rechtecke addierst, die entstanden sind durch die Unterteilung in n Teile. Jedes Rechteck hat die Breite und ich hoffe, das angehängte Bild hilft ein wenig. Beachte, dass da eigentlich



also steht, das sind grad die im Bild.

Das im Bild ist ein Beispiel für n=8, also entspricht das letzte dem , also geht die Summe von 0 (oder auch 1) bis (n-1). Das Bild sollte das auch veranschaulichen.
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön für die mühe, jetzt habe ich es glaub ich auch endlich verstanden. nur wie gesagt, mir ist jetzt nicht ganz klar wie es nun weitergeht. ich habe ja keine konkreten werte... und wie geht das nun mit dem limes? ich habe jetzt echt komplett den überblick verloren. also ich habe jetzt die obersumme



und untersumme



aber wie geht es jetzt weiter? was fange ich damit an? und wie lasse ich denn jetzt n gegen unendlich laufen? traurig
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Na jetzt setzt du f ein, denn , also ist
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... ja, dann habe ich



für die obersumme (und entsprechend für die untersumme - aber was bringt mir das jetzt? ich meine, wie wende ich das nun auf den limes an (muss ich das überhaupt???)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Millhouse


Du meinst



Augenzwinkern
Also du musst schon irgendwann n gegen unendlich laufen lassen, aber wenn du das jetzt tust, kannst du ja noch keinen Grenzwert bestimmen!! Das heißt, du musst noch vereinfachen, ich mach mal nen Anfang:



Jetzt musst du Summenformeln anwenden, kennst du die für und ??
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

ich danke dir sehr für diesen ansatz. ich muss gestehen, darauf wäre ich wahrscheinlich nie im leben gekommen.... wenn ich jetzt so an die klausur denke.... naja. also die summenformel für k² ist soweit ich mich erinnern kann



für k weiß ich jetzt leider nicht... haben wir glaube ich auch nicht gemacht. oder ist die wieder ganz einfach? wie kommt man eigentlich an eine summenformel...?

naja, die, die ich jetzt habe, müsste ich dann weiter so bearbeiten:


=

so und wenn mich jetzt nicht alles täuscht muss man den koeffizienten der zahl aus dem zähler, dessen potenz kleiner ist als die des nennenrs durch den koeffizienten des nenners teilen, hier also: 24/6 = 4.
heißt das jetzt also, dass die untersumme gegen 4 läuft...?
oder bringe ich da wieder alles durcheinander?
n! Auf diesen Beitrag antworten »

man kann das auch so schreiben:



ich habe einfach die ganzen "n" im Nenner verteilt.So und jetzt machst klammerst du n aus und dann müsstest du was sehen.

Das n/n kürzt sich so wieso weg.Wollte es nur schreiben,damit du besser erkennst,dass ich n^3 aufgespalten habe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

So würde ich das nich machen, machs lieber so:



Wenn du jetzt n gegen unendlich laufen lässt, dann geht gegen 1, wogegen?? Und das ganze dann wogegen?

Die Summenformel für das andere ist

, also ist der andere Summand:



und das geht für n gegen unendlich gegen 2 Augenzwinkern
Jetzt noch beides addieren und fertig

Wie die Summenformeln zustande kommen, is ne andere Sache. Entweder durch Probieren oder andere höhere Methoden.
Vielleicht kennst du ja die vollständige Induktion, damit kann man das beweisen. Wenn nicht, dann lass die Summenformeln Summenformeln bleiben und frag dich nich, wo sie herkommen Augenzwinkern
Wenn du mal eine suchst, die müsste auch in deinem Tafelwerk stehen
n! Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS

wobei das das gleiche ist,was ich schrieb.Wenn man bei beiden Summanden ausklammert,dann sieht man sofort die Nullfolgen.Also das wäre das streng rechnerische. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab aber deins erst gesehen, nachdem ich meinen Beitrag abgeschickt hatte.
Aber welche Nullfolgen meinst du??
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also:
läuft gegen 1, gegen 2.
gäbe es an dieser stelle nicht eine elegantere lösung, als das einfach so in den raum zu stellen? also mit limes oder so?

läuft wie schon gesagt gegen 2.

das alles addiert ergibt:



was gibt mir diese zahl jetzt an?
es ist echt zum verzweifeln traurig geschockt
n! Auf diesen Beitrag antworten »

@Mss

und

klammere mal n aus.Dann hast du nur noch 1+1/n und 2+1/n übrig. Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@n!
Das sind doch keine Nullfolgen! Nullfolgen konvergieren gegen 0. Diese konvergieren gegen 1 bzw. 2

@Millhouse





Das ist die Beweislösung mit dem limes Augenzwinkern

Der Graph ist der der Funktion Du hast das berechnet:
n! Auf diesen Beitrag antworten »

das meinte ich doch,dass man die Nullfolgen sofort sehen könne,wenn man n ausklammert. Augenzwinkern
dann bleiben natürlich nur die 1 und die 2 übrig
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

hey cool - ich habs echt berechnet?? die grüne fläche ist also wirklich FE groß??

danke auch an n! habe deine methode sogar verstanden smile

ein dickes dankeschön an alle, ich lass das jetzt erst mal ein bisschen auf mich wirklich, so ganz blicke ich da glaube ich noch nicht durch...
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

eine frage hätte ich noch dazu: ist es eigentlich egal, ob man f(x) in die ober- oder untersumme einsetzt oder muss es immer die obersumme sein?
HyperSonic Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist in so weit egal, als dass sich beide an die gleiche Fläche annähren sollten (einmal von oben und einmal von unten). Wenn du dein Ergebnis kontrollieren möchtest setzt du in beide ein und bekommst hoffentlich das gleiche raus! Augenzwinkern
Millhouse Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, dankeschön smile
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