Parameter eines LGS bestimmen

01.05.2007, 19:44

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

Parameter eines LGS bestimmen

Also ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Man hat folgendes LGS:

$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2-x_3=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6x_1+ax_2-x_3=1 \end{eqnarray*}$

Und folgende Lösung dafür:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll man den Parameter a bestimmen

Ich habe jetz einfach mal das LGS per Eliminationsverfahren auf
$\begin{eqnarray*} (a-11)x_2=2 \end{eqnarray*}$
gebracht, aber was jetz?
Oder is mein Ansatz, das LGS ganz normal aufzulösen, vollkommen daneben?

01.05.2007, 20:01

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
Also ich bekomme die eindeutige Lösung von $\begin{eqnarray*} P(0/0/-1) \end{eqnarray*}$ beim LGS. Was ich nicht ganz nachvollziehen kann ist warum in der Lösung ein Parameter das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ vorkommt, denn mit 3 Gleichungen kann man 3 unbekannte ermitteln verwirrt

verwirrt

01.05.2007, 20:03

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
???
man soll doch den parameter so bestimmen, dass die Lösung rauskommt

01.05.2007, 20:04

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
Also wenn ich mich nicht ganz irre, dann bekomme ich für $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Lösung $\begin{eqnarray*} P(0/0/-1) \end{eqnarray*}$ , also nimmt das a keinen Einfluß auf die Lösung verwirrt

verwirrt

01.05.2007, 20:07

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
wie kommst du denn auf einen Punkt?
a ist doch ein parameter, sowas wie 4 oder 2?
und wieso sollte a keinen Einfluß auf die Lösung haben? das kann ich leider nicht nachvollziehn geschockt

geschockt

01.05.2007, 20:10

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
Wie hast du denn das LGS aufgelöst? Ich hab als erstes $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ eliminiert weil es am günstigsten aufgrund der 2ten Gleichung war.

Zum Schluss erhalte ich $\begin{eqnarray*} (7-a)\cdot x_2=0 \end{eqnarray*}$ >>> $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ . Daran sieht man dass egal wie a gewählt ist $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ ist. verwirrt

verwirrt

Vielleicht schaut nochmal jmd. anders rüber Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hab schon einen anstrengenden Tag hinter mir.

Anzeige

01.05.2007, 20:16

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen

Zitat:

Original von Musti
Zum Schluss erhalte ich $\begin{eqnarray*} (7-a)\cdot x_2=0 \end{eqnarray*}$ >>> $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ . Daran sieht man dass egal wie a gewählt ist $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ ist. verwirrt

verwirrt

also $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ muss deswegen doch nicht 0 sein
also ich habe auch $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ eliminiert, dann hat man 2 Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8x_1+(a+1)x_2=2 \end{eqnarray*}$
dann x_1 eliminiert und es ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} (a-11)x_2=0 \end{eqnarray*}$

01.05.2007, 20:26

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
Wenn du $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ eliminierst hast du immer noch 3 Gleichungen.

Nachdem man $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ eliminiert habe ich in der 3ten Gleichung, denn die ändert sich nur, $\begin{eqnarray*} -4x_1+(1-a)x^2=0 \end{eqnarray*}$ stehen.

Jetzt arbeitest du weiter mit der 2ten und der 3ten Gleichung, indem dz 2mal die 2te Gleichung plus die 3te Gleihung nimmst also $\begin{eqnarray*} 2\cdot II + III \end{eqnarray*}$ . Dann erhalte ich in der dritten Zeile (Gleichung) $\begin{eqnarray*} (7-a)\cdot x_2=0 \end{eqnarray*}$ und hier ergibt $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ definitiv $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , den 0 durch eine Zahl oder Konstante ergibt 0.

01.05.2007, 20:30

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
aber (7-a) kann ja auch 0 werden...

01.05.2007, 20:34

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
Ja natürlich kann $\begin{eqnarray*} (7-a) =0 \end{eqnarray*}$ werden aber hier geht es doch darum $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ zu ermitteln oder nicht und um dies zu bestimmen brauchst du das a doch garnicht.

Aber deiner Lösung nach mache ich irgendwas falsch verwirrt

verwirrt

01.05.2007, 20:38

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
x2 soll gar nicht bestimmt werden....
a soll bestimmt werden Big Laugh

Big Laugh

01.05.2007, 20:41

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
Was ich mich frage ist warum $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bestimmt werden soll wenn es auf die Lösung des LGS sowieso keinen Enifluß nimmt verwirrt

verwirrt

Bzw. egal was $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist die Lösung $\begin{eqnarray*} P(0/0/-1) \end{eqnarray*}$ ist.

01.05.2007, 20:45

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
ja dein Punkt ist immer eine Lösung, aber es gibt ja unendlich viele, was man ja in der Lösung sieht
naja auf jeden fall ist a=7 die richtige Lösung smile

smile

danke für die hilfe, auch wenn du leicht verwirrt bist Big Laugh

Big Laugh

01.05.2007, 21:06

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parameter eines LGS bestimmen
Jo jetzt wird mir das auch klar Big Laugh

Big Laugh

Komisch aber wenn man nach a auflösen will ist a=7.

02.05.2007, 10:58

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Ihr kommt zwar auf die richtige Lösung aber ich will dennoch einmal versuchen zu erläutern wie man hier ansetzen kann:

Man soll also den Parameter so bestimmen, dass das LGS unendlich viele Lösungen in Form einer Lösungsgeraden besitzt.

Was sagt einem das bei 3 Gleichungen und 3 Variablen ?

Es muss hier also eine ganze Nullzeile (0=0) entstehen, denn nur dann können unendlich viele Lösungen entstehen.

An dieser Stelle kann man dann auch schon folgern, dass die Matrix A NICHT invertierbar ist (wegen der Nullzeile) und det(A)=0 gelten muss wodurch man mit einer Zeile die Lösung für a schon hätte.

Aber so wie das aussieht seid ihr eher noch am Anfang vom Umgang mit LGS.

Deshalb würde ich hier so vorgehen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2-x_3=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6x_1+ax_2-x_3=1 \end{eqnarray*}$

Löse die zweite Zeile nach x1 auf, setze den Term für x1 in die erste Gleichung ein und löse nach x3 auf.

Setze nun $\begin{eqnarray*} x_2=\lambda \end{eqnarray*}$ und setze alles in die 3. Gleichung ein und folgere am Ende für welche Wahl von a eine ganze Nullzeile und somit unendlich viele Lösungen enstehen können.

Ich hoffe das ist jetzt etwas deutlicher geworden.

Gruß Björn

02.05.2007, 12:57

Serpen

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau so hab ich mir gedacht, dass ich das machen sollte smile

smile

und ja wir sind ziemlich am anfang ^^

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »