Beweis an der Fibonaccifolge |
01.05.2007, 20:21 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis an der Fibonaccifolge Eine Schülerin sitzt gerade neben mir und sie präsentiert mir eine mir bis dato unbekannte Beziehung, die zwischen drei aufeinanderfolgenden Gliedern einer Fibonaccifolge bestehen soll: Die Fibonaccifolge sei rekursiv folgendermaßen definiert: Den Beweis wollen wir mittels vollständiger Induktion führen. Unsere bisherigen Versuche führten nicht zum gewünschten Ergebnis. Die Frage ist nun, ob diese Formel überhaupt richtig ist (mit einigen Werten für n wurde sie allerdings überprüft und für richtig befunden) und - was weit schwieriger erscheint - ob der Beweis überhaupt mit vollständiger Induktion durchführbar ist. Wer weiß Rat? Gr mYthos+ |
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01.05.2007, 20:27 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis an der Fibonaccifolge Vielleicht seien noch die Anfangswerte erwähnt. Damit ergibt sich (Quelle Wikipedia) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, 10.946, 17.711, 28.657, 46.368, 75.025, 121.393, 196.418, 317.811, 514.229, 832.040, 1.346.269, 2.178.309, ... Bis wohin habt ihr den manuell "probiert"? |
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01.05.2007, 20:41 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ob die Behauptung richtig ist lässt sich ja überprüfen in dem die explizite Darstellung einsetzt oder? |
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01.05.2007, 20:41 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@tigerbine Na ja, bis 2000000 sicher nicht , aber in der Formel scheint kein Widerspruch zu stecken. Vielleicht hast du mich missverstanden. Uns geht es eigentlich eher darum, ob und wie der Beweis mittels vollständiger Induktion durchführbar ist. @kiste Danke! Wir werden das mal verifizieren ... Allerdings sollten wir den Beweis ausgehend von der rekursiven Darstellung durchführen. mY+ |
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01.05.2007, 20:47 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich kann bestätigen, dass die Formel richtig ist (mit der expliziten Darstellung). Gruß, therisen |
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01.05.2007, 21:17 | Guest123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, das Problem lässt sich am einfachsten über die Additionsformel für Fibonacci-Zahlen beweisen: Diese lässt sich relativ leicht mittels voll. Induktion zeigen. Daraus folgt für m = n+1: |
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01.05.2007, 22:50 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Eigenschaft ist übrigens anzumerken, dass sie für sämtliche rekursiven Folgen gilt, also nicht nur (Fibonacci). |
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01.05.2007, 22:55 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die bisherigen zahlreichen Antworten. Ich halte mich derzeit in Deutschland auf und habe daher nicht oft Zugang zum Internet. Das Problem wurde mir von Mareike., die sich ebenfalls heute hier registriert hat, gestellt, und ich kann dies im Moment nicht weiter verfolgen. Gegebenenfalls wird sich Mareike. noch in diesem Thread dazu äußern. Die Aufgabe hat sich nunmehr auf den Beweis der von Guest123 angegebenen Additionsformel verlagert. Das bereitet uns deswegen wiederum Schwierigkeiten, weil es nunmehr zwei Indizes (m,n) gibt und normalerweise solche Induktionsbeweise immer nur mit einem Index geführt werden. Also muss man einen Index festhalten, klarerweise. Es wird aber dennoch nicht leichter (vielleicht liegt's an meiner momentanen Urlaubsstimmung oder so), aber wir müssen uns das noch ansehen. Bis denn und Gruß mYthos+ |
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01.05.2007, 23:02 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst den Induktionsbeweis über führen und dabei fest lassen! Induktionsanfang und , Induktionsschluss dann erst für . Oder umgekehrt (also ) - aber das ist ja klar, bei der Symmetrie der Gleichung. |
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01.05.2007, 23:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Arthur Ohh, vielen Dank, klar, siehe mein Edit.. mY+ |
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02.05.2007, 10:14 | Mareike. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Ich bin die schon angesprochene Schülerin und ich kann bestätigen, dass wir den Beweis nun erfolgreich durchgeführt haben Es ging, indem wir statt dem n, das m festgehalten haben. Die genaueren Beweisüberlegungen wird mYthos demnächst noch erläutern.. Ich wollte mich auch noch für die guten Hilfen hier im Forum bedanken! Mareike. |
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02.05.2007, 10:34 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ich schon sagte: Das ist rum wie num. |
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02.05.2007, 16:27 | mathepaps | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fibonacci Hallo Mareike, da wird dein Mathelehrer aber staunen......!! |
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08.05.2007, 13:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun wieder zu Hause, reiche ich noch zum allgemeinen Interesse (und das deines Mathelehrers ) die Behandlung der Additionsformel nach. Aus dieser folgt dann - wie schon erwähnt - unmittelbar (mit m = n + 1) bzw. _____________________________________________ In halten wir n fest und führen den Beweis über m -> m + 1 (@Arthur, freilich geht's auch andersrum ...). I.A.: m = 1 ... [] .. wahre Aussage oder m = 2 ... [] .. lt. Rekursionsformel .. w. Auss. ------------------------------------------------- I.V. (Ind. Voraussetzung od. Ind. Annahme): Formel ist richtig für m, daraus folgt, richtig für m + 1 .. m -> m + 1 Setze die linke Seite .. lt. Rekursionsformel Auf beide Summanden der linken Seite wenden wir nun die I.V. an: Reduzieren von , Ersetzen von und Multiplizieren Reduzieren von , Ersetzen von und Multiplizieren -> wahre Aussage, was zu zeigen war mY+ |
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08.05.2007, 15:32 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Interessant ist auch, dass die eben nachgewiesene Aussage sogar für alle ganzzahligen gilt, sofern man die Fibonacci-Folge auch für negative Indizes in konformer Weise definiert, d.h., über für Dann kann man leicht nachweisen, und die vorliegende Aussage liefert z.B. für : bzw. eingesetzt , gültig für alle ganzzahligen . Das kann man auch anders zeigen, sicher, aber es passt eben auch in dieses Schema, sofern man den Indexbereich auf ganz ausdehnt. |
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