existenz einer umkehrfunktion

27.12.2004, 17:25

lilly_ge

existenz einer umkehrfunktion

hey,

ich hoffe, mir kann jemand helfen. ich weiß nämlich nicht, warum es für einige funktionen keine umkehrfunktion gibt. gibt es eine faustregel, wann eine funktion eine umkehrfunktion besitzt?

danke für antwort

27.12.2004, 17:29

Bloodman

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normalerweise bestitzt jede funtion eine umkehrfunktion(bzw relation)!
spiegelung der funktion an der ursprungshalbgeraden des 1 und 3 quadranten
allgemein besitzen meines wissen auf jedenfall alle stetigen funtionen die nur eine monotonie aufweisen (entwerder streng monoton steigend oder fallend) eine ausrechenbare umkehrfunktion

27.12.2004, 17:35

lilly_ge

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grafisch gesehen ist die umkehrfunktion ist also eine spiegelung an einer halbgeraden. aber an welcher genau? verstehe ich nicht so ganz.

27.12.2004, 17:37

Bloodman

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ja wenn sie auf ganz x nur eine stetigkeit aufweißt

27.12.2004, 17:49

Bloodman

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hab was vergessen
surjektive funktionen werden bei einer umkehrfunktion injektiv
das heißt wenn du eine injektive funktion hast die als unkehrfunktion injektiv bleiben soll muss diese funktion auch surjektiv sein
-> die funktion muss bijektiv sein
-> di umkehrfunktion ist auch bijektiv
-> es darf nur ein monotonie verhalten vorliegen

27.12.2004, 17:49

Mathespezialschüler

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@Bloodman
Bitte lösch das mal schnell!!

Also allgemein kann man sagen: Eine Funktion besitzt eine Umkehrfunktion, wenn sie bijektiv ist. Dabei beschränkt sich das in der Schulmathematik meistens auf die Injektivität.
Und die bedeutet. Wenn du dir ein $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ nimmst, dann gibt es nur ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ .
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie monoton ist. Jede monotone Funktion ist also umkehrbar.
Und anschaulich:
Zeichne dir die Funktion, bei der du wissen willst, ob sie ne Umkehrfuntkion hat, mal in ein Koordinatensystem. Markiere dir jetzt auf der y-Achse einen Punkt und ziehe eine Gerade durch diesen Punkt, die parallel zur x-Achse ist. Wenn es irgendeinen Punkt auf der y-Achse gibt, sodass die Gerade durch diesen Punkt zwei Schnittpunkte mit der Funktion hat, dann ist die Funktion nicht umkehrbar.
Wenn aber für alle y-Werte die Gerade durch den y-Wert immer höchstens einen Schnittpunkt mit der Funktion hat, dann ist die Funktion umkehrbar.

Eine umkehrbare Funktion ist z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ , denn sie ist monoton steigend. Und wenn du dir mal nen Punkt auf der y-Achse einzeichnest und die dazugehörige Gerade, dann hat die immer höchstens einen Schnittpunkt mit dem Graphen, egal welchen Punkt du nimmst (probier das mal aus!).

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht umkehrbar.
(@Bloodman: Sie ist stetig, aber nicht umkehrbar!). Denn wie du im Bild siehst, gibt es einen Punkt auf der y-Achse (sogar mehrere), sodass die Gerade durch den Punkt parallel zur x-Achse zwei Schnittpunkte mit der Funktion hat. Die zwei Schnittpunkte hab ich mal markiert.

27.12.2004, 17:56

Bloodman

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x^2 besitzt 2 monotonien erst fallend dann steigend!!

27.12.2004, 18:05

Mathespezialschüler

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Und deswegen ist sie halt nicht monoton auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ !!!!!

27.12.2004, 20:43

xyro

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kann man y²=x als umkehrfunktion von y=x² angeben? hab jetzt grad die definition von einer umkehrfunktion nicht im kopf, geometrisch gesehen (spiegelung an der 1. winkelhalbierenden) wäre es korrekt.

27.12.2004, 21:00

Mathespezialschüler

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Es ist richtig mit dem spiegeln, aber das kannst du nicht als Umkehrfunktion angeben, denn es ist keine Funktion!!! Nimm dir einen x Wert, dann findest du zwei y-Werte, falls x>0, also kann es keine Funktion sein und daran sieht man auch wieder, dass y=x² nicht umkehrbar ist!
Und anschaulich: Nimm dir einen x-Wert>0 und zeichne die zur y-Achse parallele Gerade durch den Punkt (x,0) ein, dann wirst du zwei Schnittpunkte mit dem Schaubild von y²=x finden!

27.12.2004, 21:04

xyro

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naja, es ist keine funktion, wie man es in der schule lernt. implizit gesehen, sind es alle paare(x,y), für die y²=x erfüllt ist. aber wenn eine umkehrfunktion als funktion definiert ist, die für einen x-wert nur einen anderen y-wert zuordnet, dann hat y=x² keine umkehrfunktion.

27.12.2004, 21:11

Mathespezialschüler

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Das hat absolut nichts mit der Schule zu tun. Im Gegenteil, in der Schule wird das lascher genommen. In der modernen Mathematik ist eine Funktion eindeutig definiert und das ist nunmal keine Definition. Sicher kann man die Menge auch mathematisch erfassen, aber nur weil das jetzt nicht so in der Schule gemacht wird, sagt man nicht, das nennen wir jetzt auch mal Funktion. Im Gegenteil, es wird völlig abgegrenz und ausgeschlossen und eben wirklich nur als Menge aller Paare (x,y) angesehen, für die y²=x.

27.12.2004, 21:19

iammrvip

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ich möchte dazu nur sagen, dass wir in der schule als wir mit umkehrfunktionen anfingen, sehr wohl gelernt hatten, dass die funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = y = x^2 \end{eqnarray*}$ umkehrbar ist. jedoch eben nur auf einem teiintervall ihres definitionsbereichs.

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{D}_f = \mathbb R \rightarrow \mbox{D}_{f^{-1}} = \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mbox{W}_f = \mathbb R^+ \rightarrow \mbox{W}_{f^{-1}} = \mathbb R \end{eqnarray*}$

ich hoffe, dass ich jetzt alles richtig verstanden habe. da ich es bloß überflogen habe.

27.12.2004, 21:20

xyro

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so ähnlich meinte ich es doch? naja, ich glaub die formulierung war ein bisschen unglücklich.

27.12.2004, 21:34

etzwane

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Ich versuche mal, eure Argumentation zu verstehen, denn ich habe es noch anders gelernt.

So wie ihr es lernt, ist aus den genannten Gründen
$\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ also eine Funktion,
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ also keine Funktion.

Als was kann man $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ dann bezeichnen ? Eine Funktion mit zwei Ästen ?? Eine Funktion höherer irgendwas ???
Die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ ???

Was muss ich sagen, wenn ich sagen will: $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist ein bzw. eine .....?

27.12.2004, 21:44

iammrvip

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so wurde es mir konkret beigebracht worden. ohne irgendwelches zutun von meinem jetzigen wissen:

wenn man zu einer funktion y = ... die umkehrfunktion bestimmen will, muss man die gleichung nach x umstellen und setzt dann einfach statt y das x.

beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = x^2 \Leftrightarrow x = \sqrt y \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \bar f(x) = \sqrt x \end{eqnarray*}$

dabei ist der definitionsbereich der funktion f der wertebereich der umkehrfunktion. genauso ist der wertebereich der funktion f der definitionsbereich der umkehrfunktion.

27.12.2004, 21:51

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} y = x^2 \Leftrightarrow x = \sqrt y \end{eqnarray*}$

Einer der größten Fehler, den ich kenne!!

$\begin{eqnarray*} y = x^2 \Leftrightarrow |x| = \sqrt y \Leftrightarrow x=\pm \sqrt y \end{eqnarray*}$

27.12.2004, 21:52

iammrvip

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natürlich ist dabei $\begin{eqnarray*} -\sqrt y \end{eqnarray*}$ auszuschließen Augenzwinkern

. deshalb hab ich es auch gar nicht hingeschrieben,

27.12.2004, 21:57

Mathespezialschüler

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Dann darfst du aber keinen Äquivalenzpfeil schreiben!!! Es sei denn du machst es so:

$\begin{eqnarray*} (y=x^2\wedge x\geq 0)\Leftrightarrow x=\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

27.12.2004, 21:58

iammrvip

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ja. hast ja recht Augenzwinkern

. wollt es eben bloß mal kurz beschreiben.

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