Untergruppen der Ordnung 4

01.05.2007, 21:03	summernight	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen der Ordnung 4 Guten Abend an alle! Ich versuch gerade verzweifelt eine Aufgabe zu lösen, doch irgendwie funktioniert das nicht! Aufgabe: Bestimme alle Untergruppen der Ordnung 4 von S4 --------------------------------------------------------------------------------------------------- Sooooooo.... S4 hat insgesammt 24 verschiedene Permutationen, weil ja \|Sn\| = n! Was mich jetzt interessieren würde, wie würde dann praktisch die gruppentafel von S4 aussehen?? S4 selbst hat ja die Orndung 24, da S4 24 Elemente hat und Anzahl der Element der Gruppe = Ordnung der Gruppe. Alle möglichen Untergruppen, könnten doch nur eine Ordnug besitzten, die Teiler der S4- Ordnug ist ( , sprich 1,2,3,4,6,8,12,24) . Aber wie komme ich eigentlich auf die untergruppen von S4?? kann ich die in einer Gruppentafel darstellen. Ein Bsp. einer Untergruppe als Gruppentafel dargesellt würde mir echt weiterhelfen. Und wie würde die Gruppentafel von S4 dardestellt werden?? Etwa so? \| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9......... 23 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 0 \| 1 \| 2 \| . \| . \| . \| 23\| Oder wärde es so, dass ich mir immer eine bestiimmte Anzahl von Permutationen herausziehe und die zusammen in einer Tafel darstelle,... aber andereseits wären dass ja schon untergruppen von S4 oder? Wäre echt super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte, denn ich brauche dieses Beispiel DRINGEND!!! lg summernight!
02.05.2007, 18:03	summernight	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wäre echt über jeden noch so kleinen Hinweiß dankbar!!
02.05.2007, 19:15	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Elemente haben doch alle die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a_i\in\{1,2,3,4\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_i\neq a_j \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ . Es gibt insgesamt $\begin{eqnarray} 4!=24 \end{eqnarray}$ solche Elemente. Und ja, die Ordnung jeder Untergruppe muss ein Teiler von $\begin{eqnarray} 24 \end{eqnarray}$ sein, d.h. es kommen "nur" Untergruppen der Ordnung $\begin{eqnarray} 1,2,3,4,6,8,12,24 \end{eqnarray}$ in Frage. Gruß, therisen
02.05.2007, 19:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal kannst du dir überlegen, dass es bis auf Isomorphie nur zwei Gruppen der Ordnung 4 gibt: (a) die zyklische Gruppe der Ordnung 4 (b) die Kleinsche Vierergruppe Jetzt schau dir mal S4 genau an, wo du in deren Elementen diese Gruppen "entdecken" kannst. Ich verrat mal soviel: Von jeder der Sorten (a) und (b) jeweils 3. EDIT: Hmm, wiedermal fast gleichzeitig gepostet - aber vielleicht ergänzen unsere Hinweise einander.
02.05.2007, 19:42	summernight	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke jetzt hab ich wenegstens einen anhaltspunkt!!!

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