Ableitung eines Integrals

Neue Frage »

27.12.2004, 17:37	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung eines Integrals Ich verzweifle an folgender Aufgabenstellung: Man berechne die Ableitung der Funktion: $\begin{eqnarray} F(x) = \int_{-e^{x^2}}^{3 e^{x^2}}~ \sqrt[2]{1+x^4} ~dx \end{eqnarray}$ Mein TI-89 spuckt mir ein enormes Ergebnis aus, dass ich jedoch auf keinem Weg nachvollziehen kann. Kann mir jemand vielleicht langsam und für Integralrechnungsunbedarfte (bin noch ziemlich neu in dem Stoff) erklären, wie ich eine Ableitung einer Integralfunktion berechne?
27.12.2004, 18:14	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir sicher, dass du die Funktion richtig hingeschrieben hast?? Wenn nämlich x in den Grenzen enthalten ist, dann ist es da gebunden. Soll es also nicht vielleicht $\begin{eqnarray} F(x)=\int_{-e^{x^2}}^{3e^{x^2}}~\sqrt{1+t^4}~dt \end{eqnarray}$ sein??
27.12.2004, 18:45	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab auch eine frage. du sollst das doch ableiten. also meinst du $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\int\limits_{-e^{x^2}}^{3e^{x^2}}~\sqrt{1+x^4}~dx \end{eqnarray}$ da MSS aber recht. das würde nicht viel sinn machen. und wenn du das eingibst müsste dein TI eigentlich 0 ausspucken. du meinst wohl eher sowas $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\int\limits_{-e^{x^2}}^{3e^{x^2}}~\sqrt{1+t^4}~dt \end{eqnarray}$
27.12.2004, 18:55	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, im TI habe ich es so eingegeben, auf dem Aufgabenblatt steht es jedoch so wie oben beschrieben. Schaut selbst unter http://www.db.informatik.uni-kassel.de/~strampp/vorlesung/Uebungsblattn9.pdf Aufgabe Nr. 2
27.12.2004, 19:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das kann schon sein, ich kann mir das vorstellen. Warum soll das keine Funktion sein? Ich würde das gerne mal untersuchen, wie die Funktion aussieht, aber leider hab ich bis jetzt noch keine Stammfunktion zu $\begin{eqnarray} g(x)=\sqrt{1+x^4} \end{eqnarray}$ gefunden
27.12.2004, 19:28	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
dazu wirst du auch keine geschlossene form finden selbst mathematica verwendest dazu seine "EllipticF" funktion.
Anzeige

27.12.2004, 19:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist zwar üblich (bis auf dieses merkwürdige Übungsblatt), die Integrationsvariable anders zu benennen als eine Variable, die in einer Integrationsgrenze vorkommt - aber es ist nicht unbedingt erforderlich, gerade weil die Integrationsvariable eine gebundene Variable ist. Und eine Stammfunktion braucht man hier nicht wegen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechung (HDI) für stetige Funktionen: $\begin{eqnarray} F(x) = \int_a^x~f(t)~\mbox{d}t \ \ \Rightarrow \ \ F'(x) = f(x) \end{eqnarray}$ Hier ist mit $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt{1+x^4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(x) = \int_{-\operatorname{e}^{\; x^2}}^{3\operatorname{e}^{\; x^2}}~f(t)~\mbox{d}t \ = \ \int_{-\operatorname{e}^{\; x^2}}^0~f(t)~\mbox{d}t \ + \ \int_0^{3\operatorname{e}^{\; x^2}}~f(t)~\mbox{d}t \ = \ - \int_0^{-\operatorname{e}^{\; x^2}}~f(t)~\mbox{d}t \ + \ \int_0^{3\operatorname{e}^{\; x^2}}~f(t)~\mbox{d}t \end{eqnarray}$ Und dies kann man nun mit der Summenregel, dem HDI und der Kettenregel (obere Grenze ist jeweils die innere Funktion) ableiten.
27.12.2004, 19:41	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich auch schon gemerkt ..., auch wenn ich nich weiß, was "EllipticF" ist Aber ich geh grad nem anderen Weg nach ...
27.12.2004, 19:43	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
so meinte ich das auch . nur viel zu doof beschrieben. @MSS EllipticF heißt, laut mathematica-handbuch: für $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2} < \phi < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(\phi \| m) = \int\limits_0^{\phi}\left(1 - sin^2(\theta)\right)^{-\frac{1}{2}}~d\theta \end{eqnarray}$
27.12.2004, 20:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold Das mit dem x in den Grenzen und als Integrationsvariable is mir aber noch komisch. So wäre z.B. F(3): $\begin{eqnarray} F(3) = \int_{-e^9}^{3 e^9}~\sqrt{10}~d3 \end{eqnarray}$ Erstens ist $\begin{eqnarray} \sqrt{10} \end{eqnarray}$ konstant und zweitens: Was soll denn bitte $\begin{eqnarray} ~d3 \end{eqnarray}$ bedeuten??
27.12.2004, 20:25	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
ich erkläre es mal anders. $\begin{eqnarray} F(x) = \int\limits_{-e^{x^2}}^{3e^{x^2}}~\sqrt{1+x^4}~dx \end{eqnarray}$ jetzt sage ich: sei $\begin{eqnarray} G(x) \end{eqnarray}$ eine stammfunktion von $\begin{eqnarray} g(x) = \sqrt{1 + x^4} \end{eqnarray}$ dann gilt: $\begin{eqnarray} F(x) = G\left(3e^{x^2}\right) - G\left(-e^{x^2}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F'(x) = G'\left(3e^{x^2}\right)\left(3e^{x^2}\right)' - G'\left(-e^{x^2}\right)\left(-e^{x^2}\right)' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = g\left(3e^{x^2}\right)6xe^{x^2} + g\left(-e^{x^2}\right)2xe^{x^2} \end{eqnarray}$ jetzt noch zurücksetzen. fertig .
27.12.2004, 20:39	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@iammrvip Ja, mir ist Leopolds Erklärung klar, aber mMn darf man einfach das nicht so schreiben, es sei denn du sagst mir, was bei dir das d3 und somit das ganze Integral bedeutet?? Das Zeichen $\begin{eqnarray} \int_{-e^9}^{3 e^9}~\sqrt{10}~d3 \end{eqnarray}$ ist, soweit ich weiß, nur bei Riemann-Stieltjesschen Integralen definiert. Aber das wäre hier sinnlos, da wir uns wahrscheinlich in den Bereichen des Riemann-Integrals aufhalten. Und auch im Bereich der Riemann-Stieltjesschen Integrale wäre es sehr komisch, denn dann wäre $\begin{eqnarray} F(x)=0 \end{eqnarray}$ für alle x. PS: Bei EllipticF hast du angegeben, das sei von zwei Variablen ( $\begin{eqnarray} \phi \mbox{ und } m \end{eqnarray}$ ) abhängig, m seh ich aber rechts nicht. Und wäre das nicht viel einfacher darstellbar: $\begin{eqnarray} F(\phi \| m) = \int\limits_0^{\phi}\left(1 - sin^2(\theta)\right)^{-\frac{1}{2}}~d\theta=\int\limits_0^{\phi}\frac{1}{\|cos(\theta)\|}~d\theta \end{eqnarray}$ ??
27.12.2004, 20:47	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man sorry. es heißt richtig: $\begin{eqnarray} F(\phi \| m) = \int\limits_0^{\phi}\left(1 - m\cdot sin^2(\theta)\right)^{-\frac{1}{2}}~d\theta \end{eqnarray}$ zum anderen. hier geht es um das Riemman-Integral. das stimmt. man schreibt doch aber für die Integralfunktion $\begin{eqnarray} I_a(x) = \int\limits_a^x f(t)dt \end{eqnarray}$ dabei führt man eine variable (hier t) zur besseren unterscheidung ein. dabei ist a die untere grenze und x die stelle, bis zu welcher die fläche reichen soll.
27.12.2004, 22:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Mathespezialschüler Die Integrationsvariable ist eine gebundene Variable. Sie kann durch jede andere Variable, die nicht unter dem Integral vorkommt, ersetzt werden. Durch das Integral wird diese Variable nach außen verborgen. Ihr Gültigkeitsbereich ist also nur der Bereich unter dem Integral. So bedeuten $\begin{eqnarray} \int_0^1~a \cdot x^2~\mbox{d}x \ = \ \int_0^1~a \cdot y^2~\mbox{d}y \ = \ \int_0^1~a \cdot \sigma^2~\mbox{d}\sigma \end{eqnarray}$ alle dasselbe. Dagegen natürlich nicht $\begin{eqnarray} \int_0^1~a \cdot a^2~\mbox{d}a \end{eqnarray}$ Soweit dürfte das klar sein. Wenn nun eine Integrationsgrenze eine Variable enthält, so hat die mit der Integrationsvariablen nichts zu tun. So bedeuten wieder $\begin{eqnarray} \int_0^{\sigma}~a \cdot x^2~\mbox{d}x \ = \ \int_0^{\sigma}~a \cdot y^2~\mbox{d}y \ = \ \int_0^{\sigma}~a \cdot \sigma^2~\mbox{d}\sigma \end{eqnarray}$ alle dasselbe. Es ist absolut unüblich, es so wie im letzten Integral zu schreiben - um nämlich den von dir vorhin begangenen Fehler zu vermeiden - aber verboten ist es nicht! In $\begin{eqnarray} F(x) = \int_0^x~x^2~\mbox{d}x \end{eqnarray}$ kommt die Variable $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ viermal vor. Das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ unter dem Integral hat aber nichts zu tun mit dem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ am und außerhalb des Integrals. Dieses letzte $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist auch gebunden - aber an den Funktionsbezeichner $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . (Man könnte das vergleichen mit globalen und lokalen Variablen beim Programmieren.) Wenn du nun $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch 3 substituierst, so wirkt sich das nur auf das durch $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ gebundene $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus. $\begin{eqnarray} F(3) = \int_0^3~x^2~\mbox{d}x \end{eqnarray}$ Mit solchen Fragen beschäftigt sich die mathematische Logik. Leider bin ich da nicht Fachmann genug, um Genaueres mitzuteilen. Vielleicht suchst du einmal im Netz unter dem Stichwort Lambda-Kalkül. Und wenn du Lust hast, kannst du ja einmal bei der Funktion $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ , die gemäß $\begin{eqnarray} H(x) \ = \ \int_t^x~xt \; \lim_{x \to 0} \frac{\sin{tx}}{x}~\mbox{d}x \end{eqnarray}$ definiert sei, den Wert $\begin{eqnarray} H(-2t) \end{eqnarray}$ berechnen.
27.12.2004, 22:18	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
darf ich's sagen?? is ganz einfach $\begin{eqnarray} H(-2t) = \frac{3}{2}t^4 \end{eqnarray}$ denn $\begin{eqnarray} H(x) = \int\limits_t^x~xt~\lim_{x \to 0} \frac{\sin{(tx)}}{x}~\mbox{d}x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H(-2t) = \int\limits_t^{-2t}~xt~\lim_{x \to 0} \frac{\sin{(tx)}}{x}~\mbox{d}x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\sin{(tx)}}{x} = t \end{eqnarray}$ (folgt über l'Hospital, schreib ich jetzt nicht alles hin) somit bleibt noch $\begin{eqnarray} H(-2t) = \int\limits_t^{-2t}~xt^2\mbox{d}x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \left[\frac{x^2t^2}{3}\right]_t^{-2t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{3}{2}t^4 \end{eqnarray}$ edit: schreibfehler beseitigt.
27.12.2004, 22:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das sag ich jetzt! Das is ja mit deinen vorigen Ausführungen auch nich schwer. Also Ergebnis is $\begin{eqnarray} \frac{3t^4}{2} \end{eqnarray}$ Aber was hat das mit mathematischer Logik zu tun? Für mich ist das jetzt völlig klar, es ist ja mehr oder weniger nur ne Definitionssache und eigentlich kann man ja sagen, dass, auch wenn die beiden Zeichen x als Grenze und x als Integrationsvariable trivialerweise gleich aussehen, dass man sie doch als verschiedene Variablen ansehen muss. Ich wusste ja auch schon vorher, dass die Integrationsvariable beliebig gewählt werden kann, aber eben nicht, wie es definiert ist, wenn sie bei beidem gleich ist. Ich denk, damit ist das Problem gelöst ... Danke für die Erklärung. edit: hej, jetzt hast dus ja doch noch editiert und die Lösung hingeschrieben. Naja, egal, ich hatts auch selbst raus!
27.12.2004, 22:42	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
tja. ich war schneller .
28.12.2004, 14:42	Emp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab's jetzt übrigens auch (denke ich)
28.12.2004, 14:44	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
oh. sorry. hoffentlich haben wir dich nicht durcheinander gebracht. dann ist ja alles gut

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung eines Integrals

Verwandte Themen