Absolute Konvergenz

27.12.2004, 17:49

Ladyprog

Absolute Konvergenz

Huhu,

ich geh gerade nochmal einige der alten Übungszettel durch (Analysis I) und häng nu bei folgender Aufgabe

Zitat:

Ermitteln sie alle $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ für die die folgende Reihe absolut konvergiert

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n\frac{(n^2+1)(n+5)2^nx^n}{(n^3+1)(422)^n} \end{eqnarray*}$

Ich habe nun mit dem Quotientenkriterium begonnen und bin nun bei

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{(-1)^{n+1}((n+1)^2+1)(n+6)2^{n+1}x^{n+1}(n^3+1)(422)^n}{(-1)^n((n+1)^3+1)(n+5)2^nx^n(n^2+1)(422)^{n+1}} \mid \end{eqnarray*}$

Jetzt häng ich beim Unformen....

Was mit den Gliedern passiert, wo oben/unten $\begin{eqnarray*} ^{n+1} bzw. ^n \end{eqnarray*}$ steht, ist klar, aber die kann ich den Rest vereinfachen?

Also soweit kommt ich noch ohne Probleme

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{(-1)((n+1)^2+1)(n+6)2x(n^3+1)}{((n+1)^3+1)(n+5)(n^2+1)422} \mid \end{eqnarray*}$

Doch wie weiter?
Bei $\begin{eqnarray*} \frac{((n+1)^2+1)}{((n+1)^3+1)} \end{eqnarray*}$ vermute ich, dass im Nenner $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ übrigbleibt, aber was passiert mit der +1?
Genauso wie bei $\begin{eqnarray*} \frac{n^3+1}{n^2+1} \end{eqnarray*}$
Im Zähler würd ich hier $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einmal stehen lassen, im Nenner wegfallen lassen, aber was ist wieder mit der +1? Im Zähler und Nenner einfach stehen lassen?

Und was ich mit der (n+5) bzw. (n+6) mache, da hab ich gar keine Idee.

Wäre nett, wenn mir das mal jemand klar machen könnte, seufz, wie die Aufgabe dann weiter gelöst wird ist mir wieder klar (hoffe ich), ich häng einzig und allein beim Umformen unglücklich

27.12.2004, 20:03

matze2002

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RE: Absolute Konvergenz
hattet ihr den satz von leibniz schon? der sagt aus das
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^n\frac{(n^2+1)(n+5)2^nx^n}{(n^3+1)(422)^n} \end{eqnarray*}$

des absolut konvergiert, falls $\begin{eqnarray*} \frac{(n^2+1)(n+5)2^nx^n}{(n^3+1)(422)^n} \end{eqnarray*}$ eine nullfolge ist!

also musst du nur zeigen das der zähler grösser ist als der nenner.... das sollte mit induktion gehen

vlt hilft dir das ja....

27.12.2004, 20:19

Ladyprog

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Leider nicht, seufz. Wäre ja auch zu einfach :-( Aber danke trotzdem.
Wir haben an Konvergenzkriterien nur das Quotientenkriterium und Cauchy gemacht, der werte Herr Professor hält es ja für nötiger irgendnen Zeugs noch schnell ins erste Semester zu packen, was eigentlich erst Stoff für Analysis II wäre....
Leibniz steht zwar im Skript, hat er aber ausgelassen.

Muss mich bei der Aufgabe also wirklich mit dem Quotientenkriterium durchwuschteln...

27.12.2004, 20:24

Mathespezialschüler

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RE: Absolute Konvergenz

Zitat:

Original von matze2002
also musst du nur zeigen das der zähler grösser ist als der nenner.... das sollte mit induktion gehen

vlt hilft dir das ja....

Wahrscheinlich wolltest du sagen: "[...] der nenner grösser ist als der zähler" und das soll wahrscheinlich bei dir bedeuten, dass "der Nenner viel schneller wächst als der Zähler".

Aber das stimmt nicht! Der Nenner muss nicht nur größer als der Zähler sein, sondern er muss wie gesagt schneller wachsen als der Zähler (so sagt man das gern, wenn ein BRuch gegen 0 geht).

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{3n^2}{4\sqrt{n^4+1}} \end{eqnarray*}$ ist nämlich nicht konvergent, also divergent (die Folge $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{3n^2}{4\sqrt{n^4+1}} \end{eqnarray*}$ bildet nämlich keine Nullfolge (, sondern geht $\begin{eqnarray*} \to \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ )), aber trivialerweise ist der Nenner immer größer als der Zähler!

27.12.2004, 22:25

BraiNFrosT

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RE: Absolute Konvergenz
Hier stand etwas unwichtiges.

28.12.2004, 01:47

matze2002

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danke, und stimmt du hast recht, aber ich versteh dein beispiel nicht.... aber ansonsten ist das einleuchtend und klar!