vereinfachung eines integrals

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28.12.2004, 14:21	Millhouse	Auf diesen Beitrag antworten »
vereinfachung eines integrals hallo. ich habe mich gefragt, ob sich so ein integral nicht vielleicht ein bisschen vereinfachen lässt, weils mir doch irgendwie etwas komisch erscheint: $\begin{eqnarray} \int_{-3}^{6}~\frac{1}{81}\cdot (x+3)^{2}\cdot (x-3)\cdot (x-6)~dx \end{eqnarray}$ habe es ausmultipliziert, um die aufleitung besser bilden zu können, und hab dann das erhalten: $\begin{eqnarray} \frac{1}{81}x^{4} - \frac{1}{27}x^{3} - \frac{1}{3}x^{2} + \frac{1}{3}x + 2 \end{eqnarray}$ und die aufleitung ist dann demzufolge: $\begin{eqnarray} [\frac{1}{405}x^{5} - \frac{1}{108}x^{4} - \frac{1}{9}x^{3} + \frac{1}{6}x^{2} + 2x]_{b}^6 \end{eqnarray}$ aber das erscheint mir wie gesagt etwas spanisch... und gibt es da nicht einen einfacheren weg eine funktion dieser form aufzuleiten, irgendwie durch verkettung oder so...?
28.12.2004, 14:27	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vereinfachung eines integrals habe den ausmultiplizierten Term nicht nachgerechnet, scheint aber zu stimmen, einen anderen Weg sehe ich auch nicht. Bestenfalls kann man das 1/81 vor das Integral ziehen, um die vielen Brüche zu vermeiden. Ist aber Geschmackssache. Noch eine Bitte: nicht das Wort "Aufleitung" verwenden, meines Wissens ist "Stammfunktion" der üblicherweise verwendete Begriff.
28.12.2004, 14:28	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome werden im Normalfall Gliedweise integriert. Also von der herangehensweise schonmal "korrekt". Wenn Du überprüfen willst ob dein Integral richtig ist, leite es ab! Es muss dann die Ursprungsfunktion herauskommen. Noch als Tip, konstanten die nicht von x abhängen kannst Du vor das Integral ziehen also: $\begin{eqnarray} \int_{-3}^{6}~\frac{1}{81}\cdot (x+3)^{2}\cdot (x-3)\cdot (x-6)~dx = \frac{1}{81}\cdot \int_{-3}^{6}~ (x+3)^{2}\cdot (x-3)\cdot (x-6)~dx \end{eqnarray}$ Dann multiplizierst Du aus und bekommst zu mindest im Inneren relativ "normale" Werte.
28.12.2004, 14:32	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vereinfachung eines integrals Einfacheren Weg, nein das gibt es nicht. Sei froh dass das so schön geht :-o
28.12.2004, 14:37	Millhouse	Auf diesen Beitrag antworten »
@ mazze heißt dann die stammfunktion $\begin{eqnarray} \frac{1}{81}[\frac{1}{5}x^{5} - \frac{3}{4}x^{4} - 9x^{3} + \frac{27}{2}x^{2} + 162x]_{-3}^6 \end{eqnarray}$ also kann man den bruch auch einfach davor stehen lassen? aber nacher, wenn man die grenzwerte einsetzt, muss man das doch mit dem bruch vor der klammer multiplizieren, oder?
28.12.2004, 14:42	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du das so meinst: $\begin{eqnarray} \frac{1}{81}\left[\frac{1}{5}x^{5} - \frac{3}{4}x^{4} - 9x^{3} + \frac{27}{2}x^{2} + 162x\right]_{-3}^6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{81}\left(\frac{1}{5}\cdot 6^{5} - \frac{3}{4}\cdot 6^{4} - 9\cdot 6^{3} + \frac{27}{2}\cdot 6^{2} + 162x - \left(\frac{1}{5}(-3)^{5} - \frac{3}{4}(-3)^{4} - 9(-3)^{3} + \frac{27}{2}(-3)^{2} + 162x\right)\right) \end{eqnarray}$ dann stimmt's. jetzt noch in der klammer zusammenfassen. und dann die große klammer auflösen.
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28.12.2004, 14:44	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht unbedingt. Man kann ja erstmal rechnen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{81} \cdot (F(6) - F(-3)) \end{eqnarray}$ und dann noch die Klammer ausrechnen und die Division durch 81 für später aufheben. Aber wie gesagt: alles Geschmackssache. PS: warum bin ich immer zu spät?
28.12.2004, 14:46	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
weiß nicht. aber ist ja nicht so schlimm.
28.12.2004, 14:47	Millhouse	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, dankeschön! @klarsoweit ist nicht schlimm, bin für jeden tipp dankbar!
28.12.2004, 14:53	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte schön .
28.12.2004, 15:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte natürlich auch Produktintegration verwenden. Allerdings ist dieser Lösungsweg nicht unbedingt einfacher. Zunächst berechnet man $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~(x+3)^2(x-3)~\mbox{d}x \ = \ \frac{1}{3} \left( (x+3)^3(x-3) - \int_{}^{}~(x+3)^3~\mbox{d}x \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{3} \left( (x+3)^3(x-3) - \frac{1}{4}(x+3)^4~\mbox{d}x \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{12}(x+3)^3 \left( 4(x-3) - (x+3) \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{4}(x+3)^3(x-5) \end{eqnarray}$ Und hiermit zum eigentlich interessierenden Integral: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~(x+3)^2(x-3)(x-6)~\mbox{d}x \ = \ \frac{1}{4} \left( (x+3)^3(x-5)(x-6) - \int_{}^{}~(x+3)^3(x-5)~\mbox{d}x \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{4} \left( (x+3)^3(x-5)(x-6) - \frac{1}{4} \left( (x+3)^4(x-5) - \int_{}^{}~(x+3)^4~\mbox{d}x \right) \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{4} \left( (x+3)^3(x-5)(x-6) - \frac{1}{4} \left( (x+3)^4(x-5) - \frac{1}{5}(x+3)^5 \right) \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{80}(x+3)^3 \left( 20(x-5)(x-6) - 5(x+3)(x-5) + (x+3)^2 \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{80}(x+3)^3 ( 16x^2 - 204x + 684 ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ \frac{1}{20} (x+3)^3 (4x^2 - 51x + 171) \end{eqnarray}$ Auf jeden Fall ist das rechenaufwendiger. Immerhin aber bekommt man eine Stammfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(-3)=0 \end{eqnarray}$ in faktorisierter Form. Na ja ... P.S. Für die ursprüngliche Aufgabe ist noch der Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{81} \end{eqnarray}$ durchzuziehen.

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