von 2 graphen eingeschlossene fläche

28.12.2004, 19:13

Millhouse

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von 2 graphen eingeschlossene fläche

hallo. stecke mal wieder fest Buschmann

Buschmann

die funktion heißt
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3}{8}\cdot x^{3} - \frac{3}{2}\cdot x \end{eqnarray*}$

und die aufgabe dazu:
berechne die fläche, die von f (x) und der geraden, die durch den ursprung und den hochpunkt der genannten Funktion geht, eingeschlossen wird.

habe also die ableitung gebildet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{9}{8}\cdot x^{2} - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

und den hochpunkt berechnet:

$\begin{eqnarray*} HP(-\sqrt{\frac{4}{3}}|\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

dann habe ich die gleichung der geraden bestimmt:

$\begin{eqnarray*} g(x) = -1 \end{eqnarray*}$

nur weiß ich jetzt irgendwie nicht mehr weiter...? muss ich die beiden funktionen gleichsetzen...? worüber muss ich nun integrieren?

28.12.2004, 19:16

kikira

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RE: von 2 graphen eingeschlossene fläche
Deine Gerade stimmt nicht.
Deine Gerade wäre parallel zur x-Achse, weil die Steigung ja 0 ist. Da deine Gerade aber durch den Ursprung und den Hochpunkt geht, kann die Steigung nicht null sein...

lg kiki

Deine Geradengleichung muss lauten:

y = - x

da die Steigung - 1 ist.

Fürs Flächenberechnen:

Zuerst einmal mach eine Skizze und zeichne die Gerade ein und straffier die Fläche, die du berechnen sollst.

Und nun überleg:

Wenn du eine Kurve von -1 bis +2 integrierst, dann bekommst du die Fläche, die diese Kurve in diesen Grenzen mit der x-Achse einschließt.

Nun überleg dir, was (welche Kurve oder welche Gerade) du integrieren musst, damit die straffierte Fläche herauskommt. Und in welchen Grenzen du integrieren musst.

Dann schreibt man das so auf:

$\begin{eqnarray*} A = \int_{x_1}^{x_2}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Falls das eine Fläche ist, die unterhalb der x-Achse liegt, kommt ein Minuswert raus und du musst daher A unter Betrag stellen.

lg kiki

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion (MSS)

28.12.2004, 19:27

Millhouse

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oh sorry, das muss natürlich heißen

$\begin{eqnarray*} g(x) = -x \end{eqnarray*}$

o... hab deinen 2. post nicht gesehn... danke für den tipp. also ich stelle mir das so vor:
die schnittpunkte der beiden graphen sind die grenzen.
um diese rauszubekommen, müsste ich vielleicht die beiden funktionen dann gleichsetzen, dann gleich 0 setzen und nach x auflösen, so hätte ich dann die schnittpunkte, nehme ich an.
dann müsste ich doch einfach über f(x)-g(x), also über das, was = 0 gesetzt wurde (das ist wenn ich nicht irre nichts anderes, oder?), integrieren, oder nicht?

28.12.2004, 20:10

iammrvip

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@kikira
man hat doch schon darauf hingewiesen.benutzte bitte die edit-funktion! Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

@Millhouse
du bekommst dann drei schnittpunkte. und musst dann die grenzen richtig einsetzen. beachte dabei die symmetrie der funktion. hast du schon was für die "x-e" raus??

28.12.2004, 21:01

kikira

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Ja, das schaut im Grunde nicht anders aus, aber trotzdem hat das eine mit dem andern nix zu tun. Außerdem musst du ja F(x) - G(x) rechnen..oder umgekehrt. Oder du nimmst Betrag davon.

Du musst die Flächen subtrahieren, damit du deine gesuchte Fläche rauskriegst. Und dazu musst du schauen, ob die Kurve oberhalb der Gerade liegt oder umgekehrt.

Anhand einer Zeichnung siehst du, warum du subtrahieren musst und welche du von welcher abziehen musst. Und warum du in den Grenzen der x-Werte der Schnittpunkte integrieren musst.

Es ist wichtig, dass du verstehst, was du tust, denn Flächenberechnung ist bei jedem Beispiel anders und man sieht nur, was man integrieren muss, wenn man sich eine Zeichnung macht.

lg kiki

@iammrvip

War keine Absicht. Also bitte mach dich nicht an! Im Übrigen möcht ich drauf hinweisen, dass man "benutze" << so schreibt! Ich hoffe, ich muss dich nicht noch mal drauf hinweisen. *gg

28.12.2004, 21:13

Poff

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ein Fall für'n Moderator .. Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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28.12.2004, 21:15

kikira

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...oder für die Sittenpolizei..

Ich streu inzwischen Asche auf mein Haupt und bete 10 Vater-Unser.

die reuige Sünderin

28.12.2004, 21:16

iammrvip

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Zitat:

Original von kikira
@iammrvip

War keine Absicht. Also bitte mach dich nicht an! Im Übrigen möcht ich drauf hinweisen, dass man "benutze" << so schreibt! Ich hoffe, ich muss dich nicht noch mal drauf hinweisen. *gg

ich mache mich auch bestimmt nicht an...du musst nicht gleich zynisch werden...

28.12.2004, 21:21

ale

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Zitat:

Original von iammrvip

Zitat:

Original von kikira
@iammrvip

War keine Absicht. Also bitte mach dich nicht an! Im Übrigen möcht ich drauf hinweisen, dass man "benutze" << so schreibt! Ich hoffe, ich muss dich nicht noch mal drauf hinweisen. *gg

ich mache mich auch bestimmt nicht an...du musst nicht gleich zynisch werden...

auch wenn ich nicht als spielverderber gelten möchte:
bleibt mal beim thema!!!
verlegt doch euer problem in den smalltalk-thread

28.12.2004, 21:26

kikira

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@iammrvip

Du musst nicht gleich Mod spielen. Wüsste nicht, wodurch DIR durch mein Doppelposting Arbeit entstanden wäre. Das Recht, sich darüber aufzuregen, obliegt einem Moderator, nicht dir.
Und wenn du meinst, mir mit erhobenem Zeigefinger zu kommen, dann wunder dich nicht, wenn ich zynisch werde. Oder willst du mir etwa unterstellen, ich hätte absichtlich zweimal hintereinander gepostet?
Im Übrigen ist nun Ende der Diskussion, denn das alles ist off-topic und glaub nicht, dass dein Alterieren Millhouse förderlich ist.

kiki

29.12.2004, 00:21

Millhouse

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hey... regt euch nicht zu sehr auf smile

smile

ich denke von einem post mehr oder weniger wird die datenbank schon nicht zusammenbrechen. natürlich ist ein edit übersichtlicher als ein neuer post, aber hey... das kann jedem mal passieren. will mich da jetzt aber auch nicht weiter einmischen, klärt das unter euch... Augenzwinkern

Augenzwinkern

also, habe mir die funktion jetzt gezeichnet, das stimmt alles vorne und hinten nicht, deswegen hier mein ausführlicher lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3}{8}\cdot x^{3}-\frac{3}{2}\cdot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{9}{8}\cdot x^{2}-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

1. Berechnung des Hochpunktes:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{9}{8}\cdot x^{2}-\frac{3}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{2} = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

der hochpunkt ist bei $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$ , das sieht man an der zeichnung und ich habe auch noch eine probe gemacht.

y-wert:
$\begin{eqnarray*} f(-\sqrt{\frac{4}{3}}) = \frac{3}{8}\cdot (-\sqrt{\frac{4}{3}})^{3}-\frac{3}{2}\cdot (-\sqrt{\frac{4}{3}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (-\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}) + \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

also liegt der HP bei $\begin{eqnarray*} (-\sqrt{\frac{4}{3}} | \sqrt{\frac{4}{3}}) \end{eqnarray*}$

2. Berechnung der graden:

$\begin{eqnarray*} P1(-\sqrt{\frac{4}{3}} | \sqrt{\frac{4}{3}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P2(0|0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = mx + n \end{eqnarray*}$

n ist 0, da die gerade durch den ursprung geht.

$\begin{eqnarray*} m = \frac{y2-y1}{x2-x1} = \frac{0-\sqrt{\frac{4}{3}}}{0+\sqrt{\frac{4}{3}}} = -1 \end{eqnarray*}$

demnach müsste $\begin{eqnarray*} g(x) = -x \end{eqnarray*}$ sein. aber diese gerade geht nicht durch den hochpunkt von f(x)! ich habe jedoch absolut keine ahnung, wo der fehler sein könnte, habe alles schon ganz oft durchgerechnet...

edit: habe grade gesehn, dass es die extremstelle $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$ garnicht gibt, beide extremstellen sind <1
geschockt

geschockt

29.12.2004, 00:44

iammrvip

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nein. es ist alle richtig was du geschrieben hast. hast du vielleicht irgendwas in den GTR (graphikfähiger taschenrechner) falsch eingegeben??

edit: ps: das mit kikira haben wir schon geklärt. haben uns auch etwas misverstanden

edit 2: hier ist noch mal ein skizze für dich

der graph der funktion f(x) und die gerade mit der gleichung y = -x

29.12.2004, 00:49

kikira

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Dein Hochpunkt stimmt.
Und die Geradengleichung auch.
Denn was besagt deine Geradengleichung denn?
- dass, wenn ich für x eine Zahl einsetze, so krieg ich für y die gleiche Zahl raus, nur eben mit umgekehrtem Vorzeichen.
Und das stimmt ja....dein x ist die gleiche Zahl wie dein y....nämlich sqrt(4/3)...nur eben mit gegensätzlichem Vorzeichen. Also muss dein Hochpunkt auf der Gerade liegen.

Wenn du nun deine Kurve zeichnen willst, so musst du eben schnell mal eine Kurvendiskussion machen...Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkt.

Dann die Kurve und die Gerade zeichnen und dann die Fläche straffieren, die du berechnen sollst.

lg kiki

29.12.2004, 00:50

iammrvip

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@kikira
ich bin schneller als sein bleistift Big Laugh

Big Laugh

.

29.12.2004, 08:00

kikira

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@iammrvip

Aber nicht so schnell wie mein Kuli...*gg

lg kiki

29.12.2004, 12:10

Millhouse

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ok, also wenn mich dann jetzt nicht alles täuscht müsste die rechnung folgender maßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\sqrt{\frac{4}{3}}}^{0}~\frac{3}{8}\cdot x^{3}-\frac{3}{2}\cdot x~dx - \int_{-\sqrt{\frac{4}{3}}}^{0}~-x~dx \end{eqnarray*}$

was gleichwertig wäre mit

$\begin{eqnarray*} \int_{-\sqrt{\frac{4}{3}}}^{0}~\frac{3}{8}\cdot x^{3}-\frac{3}{2}\cdot x~dx - \frac{1}{2}\cdot (-\sqrt{\frac{4}{3}})\cdot \sqrt{\frac{4}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{-\sqrt{\frac{4}{3}}}^{0}~\frac{3}{8}\cdot x^{3}-\frac{3}{2}\cdot x~dx + \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

g(x) -x schließt ja ein rechtwinkliges dreieck ein, deswegen könnte man doch statt des integrals über -x auch die fläche des dreiecks mit der formel (grundseite*höhe)/2 berechnen.... oder war das jetzt du voreilig?

29.12.2004, 12:19

iammrvip

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bis hier hin stimmt es erstmal schon Freude

Freude

.

du könntest auch die dreiecksformel benutzen. aber das ist doch zu umständlich.

noch ein tipp: du kannst die integrale auch zusammenfasssen. es gilt die summenregel

$\begin{eqnarray*} \int_{-\sqrt \frac{4}{3}}^0\left(f(x) - (-x)\right)~dx = \int_{-\sqrt \frac{4}{3}}^0f(x)~dx - \int_{-\sqrt \frac{4}{3}}^0-x~dx \end{eqnarray*}$

29.12.2004, 12:52

Millhouse

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hm... ich komme jetzt irgendwie auf ein negatives ergebnis... habe es so grechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\sqrt{\frac{4}{3}}}^{0}~\frac{3}{8}\cdot x^{3}-\frac{3}{2}\cdot x - (-x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_{-\sqrt{\frac{4}{3}}}^{0}~\frac{3}{8}\cdot x^{3}-\frac{1}{2}\cdot x~dx \end{eqnarray*}$

Stammfuntion:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{32}\cdot x^{4}-\frac{1}{4}\cdot x^{2} \end{eqnarray*}$

und dann die grenzen eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{32}\cdot (-\sqrt{\frac{4}{3}})^{4}-\frac{1}{4}\cdot (-\sqrt{\frac{4}{3}})^{2} - 0 \end{eqnarray*}$

das kommt bei mir auf $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ raus...

29.12.2004, 13:02

iammrvip

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das kommt daher, dass du beim einsetzen die grenzen vertauscht hast.

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{3}{32}x^{4}-\frac{1}{4}x^{2}\right]_{-\sqrt \frac{4}{3}}^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0 - \left(\frac{3}{32}\left(-\sqrt \frac{4}{3}\right)^{4}-\frac{1}{4}\left(-\sqrt \frac{4}{3}\right)^{2}\right) \end{eqnarray*}$

29.12.2004, 13:06

Millhouse

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huch... die obere grenze muss ja zuerst... Hammer

Hammer

29.12.2004, 13:07

iammrvip

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Freude

da kommst du auf das richtige ergebnis. du wirst erstaunt sein Big Laugh

Big Laugh

.

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