Integration

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Gnu Auf diesen Beitrag antworten »
Integration
Hoi, bin gerade ein wenig am Rechnen und da ich das irgendwie nie behandelt hab (es aber so ähnlich in meiner Formelsammlung drin steht) wollt ich wissen ob die Umformung gültig ist:



MfG!
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann dir nur sagen, dass du noch eine klammer setzen musst und die integralgrenzen auf alle fälle andersrum sein müssen.

Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das mit den Klammern is mir 5 Sekunden nachm abschicken aufgefallen, die Integrationsgrenzen waren mehr oder weniger hingerotzt Big Laugh
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

es sieht sehr schlüssig aus. aber ich werde mich noch mal näher damit befassen. bin mir nicht sicher.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist falsch!! Du wolltest wohl einfach auf beiden Seiten integrieren, dann musst du es aber auch richtig machen. Es folgt nur:



oder ausgerechnet:



und das ist nichts anderes als die Ausgangsgleichung.
Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

Nungut, Dein Weg erscheint mir auch schlüssig....

Dennoch gilt ja der Mittelwertsatz der Integralrechnung mit:

http://www.math.uni-siegen.de/numerik/notes/ANAOnline/img1745.gif

Mein Versuch war lediglich diesen aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung herzuleiten.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Sowas hab ich mir schon gedacht, aber was du da machst, geht einfach nicht. Du kannst es auch mal an der einfachen Funktion nachprüfen, dass das nicht funktioniert.
Allerdings stimmt es natürlich, dass beide Mittelwertsätze für f gelten, wenn f differenzierbar ist (, denn dann ist f auch stetig und somit integrierbar). Aber der Mittelwertsatz der D. sagt, dass es ein gibt, sodass . Und der Mittelwertsatz der I. sagt, dass es ein gibt, sodass . Es muss aber keinesfalls sein, das ist nur in den seltensten Fällen der Fall. Und daran scheitert auch deine Rechnung, du wolltest nämlich beweisen, dass gilt, und das geht dann natürlich nicht!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wende doch einfach den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf eine Stammfunktion F von f an.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was hat man dann gewonnen? Dann hat man nur den Mittelwertsatz der D. umgekehrt und man kommt wieder zum Anfang. Wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann gibt es natürlich ein , sodass . Unter der Voraussetzung, dass f stetig ist, gilt dann also



Das is ne völlig triviale Schlussfolgerung.
Aber: Das ist aber noch nicht der Mittelwertsatz der Integralrechnung!! Denn hier wird vorausgesetzt, dass f eine Stammfunktion besitzt bzw. dass F differenzierbar ist. Wenn f eine Stammfunktion besitzt, heißt das aber noch nicht, dass f auch integrierbar ist! Und genauso wenig muss f stetig sein, dann gibt es kein solches , sondern nur ein , sodass

AD Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS

Sehr schöner Vortrag - was verstehst du unter dem Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Nach Gnu's Formulierung des Mittelwertsatzes habe ich Stetigkeit von f vorausgesetzt. (Natürlich ist Gnu's ursprüngliche Beweisidee falsch, aber ich denke, er will einfach nur irgendwie den Mittelwertsatz der Integralrechnung beweisen.)

Ohne Stetigkeit (also nur Voraussetzung der Integrierbarkeit) ist die Behauptung der Existenz eines mit

i.a. ja auch falsch.

Und was die Integrierbarkeit betrifft: Bitte nenne mir doch ein Beispiel einer auf einem endlichen geschlossenen Intervall [a,b] stetigen Funktion f, die dort nicht integrierbar ist.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
@MSS

Sehr schöner Vortrag - was verstehst du unter dem Mittelwertsatz der Integralrechnung?

Erster Mittelwertsatz der Integralrechnung:
Ist f auf integrierbar, dann existiert ein eindeutig bestimmtes , sodass

.

Für stetiges f gibt es sogar ein , sodass .


Zitat:
Original von Arthur Dent
Nach Gnu's Formulierung des Mittelwertsatzes habe ich Stetigkeit von f vorausgesetzt. (Natürlich ist Gnu's ursprüngliche Beweisidee falsch, aber ich denke, er will einfach nur irgendwie den Mittelwertsatz der Integralrechnung beweisen.)

Ohne Stetigkeit (also nur Voraussetzung der Integrierbarkeit) ist die Behauptung der Existenz eines mit

i.a. ja auch falsch.

Richtig. Wenn du Stetigkeit voraussetzt, dann kannst du es sicherlich beweisen, aber der Mittelwertsatz der Integralrechnung setzt ja nur Integrierbarkeit voraus, und somit erhieltest du nur einen Spezialfall des von mir angegebenen Mittelwertsatzes der Integralrechnung, das meine ich.

Zitat:
Original von Arthur Dent
Und was die Integrierbarkeit betrifft: Bitte nenne mir doch ein Beispiel einer auf einem endlichen geschlossenen Intervall [a,b] stetigen Funktion f, die dort nicht integrierbar ist.

Das kann ich dir nicht geben, weil jede stetige Funktion integrierbar ist. Aber das habe ich auch nicht behauptet. Ich habe behauptet, dass integrierbare Funktionen gibt, die nicht stetig sind.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Wenn f eine Stammfunktion besitzt, heißt das aber noch nicht, dass f auch integrierbar ist!


Ohne Kommentar.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Wenn f eine Stammfunktion besitzt, heißt das aber noch nicht, dass f auch integrierbar ist!


Ohne Kommentar.

Ich sehe nicht, was daran falsch sein soll. Wenn f eine Stammfunktion besitzt, heißt das ja noch lange nicht, dass f stetig ist! Denn dann wäre F stetig differenzierbar und ich glaube kaum, dass dieser Begriff geprägt wurde, wenn alle Ableitungen stetig wären ...
Überzeuge dich selbst davon:

Die Funktion



besitzt die Ableitung

.

Aber F' ist auf keinem Intervall integrierbar.

Reicht das?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es reicht nicht, denn wir haben von stetigen f im gesamten geschlossenen Intervall [a,b] gesprochen - dein F' ist an der Stelle x=0 nicht stetig.

P.S.: Ich war auch mal MSS, also bilde dir nicht zuviel darauf ein. Augenzwinkern
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

wieo bekommt ihr alle spezialunterricht traurig an unserer schule gab's noch nie so ein angebot. ich will das auch haben traurig
PK Auf diesen Beitrag antworten »

das denk ich auch immer. Ich sollte mich mal für einen Hypermathe- Workshop bei mir stark machen.. die Resonanz wird bombastisch sein
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also da oben hatte ich noch nicht von stetigem f gesprochen!
Da war alles noch ganz allgemein gehalten, was du auch siehst, wenn du den Beitrag genau liest Augenzwinkern
--> Missverständnis.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast recht, war ein Missverständnis. Ich verbinde den Begriff Mittelwertsatz eben immer mit stetigen Funktionen. Die allgemeinere Aussage

.

halte ich nun (vom Beweis her) wiederum für trivial, und das war mir bisher nie unter dem Begriff Mittelwertsatz untergekommen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Nein, es reicht nicht, denn wir haben von stetigen f im gesamten geschlossenen Intervall [a,b] gesprochen - dein F' ist an der Stelle x=0 nicht stetig.


In dem Post stand noch irgendwas falsches, worauf ich antworten wollte. Leider hast du es jetzt wegeditiert und ich erinner mich nich mehr. Was hattest du denn da noch geschrieben? verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, eigene Fehler zu löschen ist wohl legitim, solange keiner auf diese Fehler in Beiträgen Bezug genommen hat. Augenzwinkern

Es ging um die Differenzierbarkeit an der Stelle 0 - und ja, dein F ist dort differenzierbar. Hammer


EDIT:

Übrigens ist der Gebrauch der Integral-Symbolik im Fall von Riemann-Integralen oft sehr verwaschen:

So ist z.B. (f(0)=0) im Intervall [0,1] nicht R-integrierbar. Trotzdem schreibt man



wegen der Interpretation als uneigentliches Integral



Ähnlich könnte man bei deinem F' vorgehen, d.h., das uneigentliche Integral über das Intervall [0,b] existiert.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Tja, eigene Fehler zu löschen ist wohl legitim, solange keiner auf diese Fehler in Beiträgen Bezug genommen hat. Augenzwinkern

Ja, klar ist das völlig ok, aber ich wollte jetzt unbedingt nochmal wissen, was das war. Big Laugh
Zu dem edit: Das stimmt schon, aber mit dem zweiten ist ja eindeutig die für x>0 definierte (und x=0 nicht definierte) Funktion gemeint, da kann man also schon abgrenzen.
Wenn man deine Funktion meinen würde, würde man dann wohl eher f vorher so definieren und dann schreiben existiere nicht, bzw. f sei nicht integrierbar auf [0,1].
Aber du hast schon Recht, dass da eine gewisse Gefahr besteht ...
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