Absolutes Extremum bestimmen

28.12.2004, 22:17

Angelina

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Absolutes Extremum bestimmen

Gegeben sei die Funktion g: [0,3] -> R mit f(x):=2x³ - 9x² + 12

Als mögliche Extremstellen hab ich 0, 12, 72 und 120 errechnet.
(Die Ableitung und dann da 0, 1, 2, 3 einsetzen) (?)

Nun soll ich noch sagen: An welchen Stellen hat f sein absolutes Extrema?

Das ist keine Hausaufgabe, sondern eine alte Klausur die ich hier rechne, also wäre ich für die Lösung mit Erklärung sehr dankbar!

28.12.2004, 22:26

hummma

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Die Funktion geht fuer x-->+oo gegen +oo und fuer x-->-oo gegen -oo. Die hat kein absolutes Extrema.

Aber wie kommst du den ueberhaupt auf die moeglichen Extrema? Die Funktion ist 3. Grades, dh. sie kann hoechstens zwei Extrema haben.

28.12.2004, 22:36

Angelina

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Dann sind meine möglichen Kandidaten für die Extrema ja auch falsch !?

Na aber wenn es 2 Extremstellen haben kann / hat, wie berechne ich die?

Ich hab nur gelesen, dass:
Ein Extremwert der Funktion f an der Stelle a liegt vor gdw. die erste Ableitung der funktion, f'(x), and der Stelle a einen Vorzeichenwechsel hat.

28.12.2004, 22:39

iammrvip

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du brauchst erstmal die erste ableitung der funktion f(x). diese musst du dann 0 setzen. f'(x) = 0 und nach x auflösen.

das kannst du dir logisch so erklären. wenn der graph ein extremum an einer stelle hat, musst dort das vorzeichen der anliegendenen tangenten wecheseln. also muss es eine stelle geben, wo die tangentensteigung 0 ist. und da die erste ableitung die tangentensteigung angibt, muss auch diese 0 sein.

28.12.2004, 22:39

Angelina

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Das ist das erste Mal dass ich das versuche... kannst du mir nicht eine verständliche Anleitung geben?
Ich kann nie etwas von dem verstehen, was im Formelkaudawelsch dasteht. traurig

traurig

Vielleicht bin ich einfach zu dumm, aber ich möchte es gerne verstehen.

28.12.2004, 22:40

iammrvip

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hab dir grad bisschen was geschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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28.12.2004, 22:41

Angelina

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Also ist in meiner Formel bei 12 eine Nullstelle. Das heißt, dass da in f dann ein Extremum vorliegt. richtig?

28.12.2004, 22:42

iammrvip

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nein. das stimmt nicht. schreib mal bitte deine erste ableitung rein.

28.12.2004, 22:46

Angelina

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Also die Funktion war:

f(x)= 2x³ - 9x² +12x

f'(x)= 6x² - 18x +12

28.12.2004, 22:49

iammrvip

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jetzt musst du die gleichung

$\begin{eqnarray*} 6x^2 - 18x +12 = 0~|~:3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - 3x + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

nach x auflösen. also p-q-formel oder faktorisieren.

28.12.2004, 22:53

Anirahtak

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Ich glaube da war jemand nicht ganz bei der Sache:

Zitat:

Original von hummma
Die Funktion geht fuer x-->+oo gegen +oo und fuer x-->-oo gegen -oo. Die hat kein absolutes Extrema.

Das stimmt zwar prinzipiell, aber die Funktion ist nur auf [0, 3] definiert, und hier kann sie sehr wohl ein globales Extremum haben.

Zitat:

Original von hummma
Die Funktion ist 3. Grades, dh. sie kann hoechstens zwei Extrema haben.

Da muss ich widersprechen. Sie kann höchstens 3 Extremas haben.

Gruß
Anirahtak

28.12.2004, 22:56

iammrvip

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@Anirahtak
ich hab auch schon daran gedacht. aber erstmal brauchen wir ja die extremstellen.

Zitat:

Original von Anirahtak
Da muss ich widersprechen. Sie kann höchstens 3 Extremas haben.

GANZ GROSSES STOPP!! das ist FALSCH
eine funktion 3. grades kann höchstens 2 extrema haben. die begründung dafür ist ganz einfach: wenn man die erste ableitung bildet, wird das immer eine quadratische funktion sein. und diese hat höchstens 2 nullstellen.

28.12.2004, 23:00

Anirahtak

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Hallo,

jetzt hab ich schon geschlafen.
Danke.

@hummma: Sorry.

Gruß
Anirahtak

28.12.2004, 23:02

iammrvip

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@Anirahtak
passiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

@Angelina
bist du noch da Big Laugh

Big Laugh

28.12.2004, 23:06

Angelina

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Ja.... *schäm* ich suche gerade wie die pq Formel geht...........

28.12.2004, 23:07

iammrvip

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$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \end{eqnarray*}$

28.12.2004, 23:08

Poff

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das ist nicht richtig, die kann 4 'Extrema' haben.
.

28.12.2004, 23:08

iammrvip

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Zitat:

Original von Poff
das ist nicht richtig, die kann 4 'Extrema' haben.
.

verwirrt

verwirrt

was wird denn jetzt??

28.12.2004, 23:15

Angelina

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also x1 = -1 und x2 = -2 !?
Was genau sagt mir das jetzt? Das sind ja x-Werte. Sind das nun die Stellen an denen f Extrema hat (ob lokal oder global sei mal dahingestellt).

28.12.2004, 23:16

Angelina

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Überhaupt mal danke, dass du so geduldig bist!

28.12.2004, 23:19

iammrvip

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mach ich doch gern Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

stimmt leider nicht. du hast ein vorzeichenfehler.

$\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = 2 \end{eqnarray*}$

28.12.2004, 23:24

Angelina

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Ich find grad den Fehler nicht, daher hier ein Teil meines Lösungsweges:

$\begin{eqnarray*} x1/2 = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}-2} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} x1/2 = -\frac{3}{2} \pm 0,5 \end{eqnarray*}$

28.12.2004, 23:25

iammrvip

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p = -3

also

$\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

das ist der fehler Freude

Freude

.

28.12.2004, 23:26

Poff

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Die 'Extrema' sind

(0|0), (1|5), (2|4), (3|9)
.

28.12.2004, 23:28

Angelina

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oh ups.. ja Vorzeichen.. der Standard Fehler...

28.12.2004, 23:29

Angelina

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Ich muss jetzt schlafen gehen.. ich mach morgen weiter. Danke für die Hilfe! Ich werde mich morgen bemühen weiter zu kommen.

n8

28.12.2004, 23:30

iammrvip

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ja. aber es ging ja allgemein um die extrema funktion 3. grades. nicht um diese speziell. bitte alles lesen Poff. du bringst uns Angelina noch durcheinander. Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

28.12.2004, 23:36

kunterbunt

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Zitat:

Original von Poff
Die 'Extrema' sind

(0|0), (1|5), (2|4), (3|9)
.

ich stimme poff zu. man muss ja auch die randstellen des intervalls mit einbeziehen.

28.12.2004, 23:39

iammrvip

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soweit sind wir doch aber noch gar nicht traurig

traurig

versteht ihr nicht was ich meine unglücklich

unglücklich

29.12.2004, 13:52

Angelina

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So. satt und bereit Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also hab ich x1 = 1 und x2 = 2 Was ist das nun eigentlich? was sagen mir diese Werte?

29.12.2004, 13:56

iammrvip

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das sind jetzt die stellen, wo extrema sein können. aber das müssen wir noch überprüfen. dazu ist es hinreichend, dass die zweite ableitung an dieser stelle ungleich null ist. du musst jetzt also die zweite ableitung bilden und die stellen x einsetzen. wenn

$\begin{eqnarray*} f''(x_E) > 0 \end{eqnarray*}$ : minimum
$\begin{eqnarray*} f''(x_E) < 0 \end{eqnarray*}$ : maximum

29.12.2004, 14:20

Angelina

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Also ich hab x1=-6 und x2=6 raus... also ein minimum und ein maximum?

29.12.2004, 14:24

iammrvip

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japp. jetzt setzt du das noch in die ausgangsfunktion ein, um die y-werte der punkte zu bekommen. und diese punkte sind dann die lokalen/relativen extrema.

dann musst du dir noch die ränder der funktion angucken. dort liegen die absoluten extrema. dazu musst du dann noch die y-werte ausrechnen und hast deren punkte.

tut mir leid muss weg deshalb das schnellverfahren Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

02.01.2005, 17:59

Angelina

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Frohes Neues...

Also ich hab da als y-werte aber -2988 und 2340 raus unglücklich

unglücklich

das is doch sicher falsch...... Die Ränder des Intervalls hab ich erst garnicht berechnet.
traurig

traurig

02.01.2005, 18:03

iammrvip

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verwirrt

guck mal:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 1^3 - 9\cdot 1^2 + 12\cdot 1 = ... \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 18:09

Angelina

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Wahrscheinlich hab ichs nicht richtig im Taschenrechner eingegeben.....

also hab ich 5 und 4 raus.. also sind 2 Extrema: (1,5) und (2,4)

02.01.2005, 18:10

iammrvip

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Richtig!. Jetzt noch die globalen Extrema bestimmen. Noch dazu angeben:

$\begin{eqnarray*} \mbox P_{\mbox {Max}}(1|5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mbox P_{\mbox {Min}}(2|4) \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 18:30

Angelina

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also für die Ränder des Intervalls hab ich raus: (0,0) und (3,9) smile

smile

da das ja schonmal gesagt wurde ist das wohl richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also hab ich jetzt:
PMax(0|0)
PMax(1|5)
PMin(2|4)
PMin(3|9)
?

02.01.2005, 18:33

Angelina

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(0|0) müsste aber doch ein Minimum sein, oder?

02.01.2005, 18:34

iammrvip

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Richtig

Rock

Wobei

$\begin{eqnarray*} \left. {{\mbox P_{\mbox {Min}}(0|0)} \over {\mbox P_{\mbox {Max}}(3|9) }} \right\} \to \text{absolute Extrema} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left. {{\mbox P_{\mbox {Max}}(1|5)} \over {\mbox P_{\mbox {Min}}(2|4)}} \right\} \to \text{relative Extrema} \end{eqnarray*}$

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