Potenzreihe

02.05.2007, 12:19

piloan

Potenzreihe

hi
ich soll
$\begin{eqnarray*} f(x)=(z+1)sin(z) \end{eqnarray*}$ wobei z eine komplexe Zahl ist als Potenzreihe darstellen um den Punkt $\begin{eqnarray*} z_0=i \end{eqnarray*}$

das gleiche sollte ich fuer $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x-1}{(x-2)(x-3)} \end{eqnarray*}$ machen.
Hier habe ich eine Potenzreihe um den Punt x=-1 bekommen.
Die Potenzreihe ist eine Differenz zweier Reihen.Ist dann der Konvergenzradoius das Minimum beider Reihen ? und hat einer einen ansatz fuer die Sinus funktion...da komm ich nich weiter

gruß

02.05.2007, 15:17

Leopold

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Vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} \sin{z} = \sin{\left( (z-\operatorname{i}) + \operatorname{i} \right)} \end{eqnarray*}$

Dann Additionstheorem und Sinusentwicklung um 0 verwenden.

Ebenso:

$\begin{eqnarray*} z + 1 = \left( z - \operatorname{i} \right) + \left( 1 + \operatorname{i} \right) \end{eqnarray*}$

02.05.2007, 15:56

piloan

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also

$\begin{eqnarray*} (sin(z-i)cos(i)+cos(z-i)sin(i))((z-i)+(1+i)) \end{eqnarray*}$

was soll ich denn nu um den Punkt 0 entwickeln bei der Sinusfunktion?
und was mach ich mit dem zweiten Faktor cos(i) bzw sin(i)..

die erste funktion war leichter Augenzwinkern

02.05.2007, 16:23

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Zitat:

Original von piloan
was soll ich denn nu um den Punkt 0 entwickeln bei der Sinusfunktion?

Die Potenzreihen von $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ um x=0 sind doch wohl bekannt, oder?

Zitat:

Original von piloan
und was mach ich mit dem zweiten Faktor cos(i) bzw sin(i)..

Na ausrechnen! Es gilt

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \cosh(ix) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin(x) = -i\cdot \sinh(ix) \end{eqnarray*}$

Setz da doch einfach $\begin{eqnarray*} x=i \end{eqnarray*}$ ein.

02.05.2007, 16:51

piloan

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dann mach ich das so wie du das sagst und komm auf

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=0}^\infty~\frac{-1^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}*(\frac{e^{-1}}{2}+\frac{e}{2})+\sum_{k=0}^\infty~\frac{-1^k}{(2k)!}z^{2k}*-i*(\frac{e^{-1}}{2}-\frac{e}{2}))((z-i)+(1+i) \end{eqnarray*}$

sieht ja irgendwie komisch aus ...und der hintere teil ist ja auch noch nicht bearbeitet.. unglücklich

02.05.2007, 19:21

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Wenn schon, dann bitte $\begin{eqnarray*} (z-i)^{2k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (z-i)^{2k+1} \end{eqnarray*}$ statt des hier falschen $\begin{eqnarray*} z^{2k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^{2k+1} \end{eqnarray*}$ !

EDIT: ... und setz bitte Klammer, wenn sie nötig sind: $\begin{eqnarray*} -1^k \end{eqnarray*}$ ist einfach $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ; du meinst aber $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} * -i \end{eqnarray*}$ sieht ohne Klammern auch fürchterlich aus... geschockt

03.05.2007, 08:32

piloan

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guten morgen ..
also =)

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=0}^\infty~\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}(z-i)^{2k+1}*(\frac{e^{-1}}{2}+\frac{e}{2})+\sum_{k=0}^\infty~\frac{(-1)^k}{(2k)!}(z-i)^{2k}*'(-i)*(\frac{e^{-1}}{2}-\frac{e}{2}))((z-i)+(1+i)) \end{eqnarray*}$

und was mach ich mit dem rechten Teil ((z-i)+(1+i))...??

03.05.2007, 10:28

piloan

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diue summen mit ((z-i)+(1+i)) ausmultiplizieren,sortieren und zusammenfassen und dann bin ich fertig??..ist das richtig?

03.05.2007, 10:29

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Ja.

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