Stetigkeit - Denkanstoß

29.12.2004, 16:30

Yoko

Stetigkeit - Denkanstoß

Hallo,

in der Weihnachtsübung ist folgende Aufgabe.

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und es gelte
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(2x) \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann ist f konstant.

Also ich soll beweisen das f konstant ist.

Erstmal zu meinem Verständnis.

Eine Funktion f heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist.

eine konstante Funktion ist eine Funktion, die für alle Argumente stets den selben Wert hat.
Ist der Definitionsbereich einer Funktion nicht leer, dann ist die Funktion genau dann konstant, wenn ihre Bildmenge aus genau einem Element besteht.

Aber ich verstehe die gegebene Funktion nicht. Wie kann f(x)=f(2x) sein?

Gruß Yoko

29.12.2004, 16:40

Bloodman

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Zitat:

Aber ich verstehe die gegebene Funktion nicht. Wie kann f(x)=f(2x) sein?

z.B.
f(x)=5

29.12.2004, 16:55

Mazze

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Mann muss sich natürlich klar werden was konstant heißt. Eine Konstante Funktion ist schlichtweg eine Gerade paralell zur x-Achse und damit ist f(x) = 5 eine solche. Da f(x) = f(2x) = f(ax) = 5 für alle a aus R. Du weißt das die Funktion stetig ist und kennst die Bedingung das
f(x) = f(2x). Schon ne Idee wie man das angehen müsste? Augenzwinkern

29.12.2004, 17:54

Yoko

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also ist z.B f(x)=5 also auch f(2x)=5

und wenn genau das gilt ist f konstant. Also ein konstante Funktion ist eine Funktion die sich nicht ändert. Muss die denn immer parallel zur x-Achse sein, kann es nicht auch einfach eine Gerade im Raum sein?

gruß yoko

29.12.2004, 17:56

Bloodman

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Zitat:

kann es nicht auch einfach eine Gerade im Raum sein?

nein

29.12.2004, 19:10

Leopold

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Bei

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(2x) \end{eqnarray*}$

handelt es sich um eine sogenannte Funktionalgleichung, eine Gleichungen zwischen Funktionswerten für verschiedene Argumente. Du kannst diese Gleichung auch umgekehrt lesen. Setze $\begin{eqnarray*} t=2x \end{eqnarray*}$ , dann heißt es:

$\begin{eqnarray*} f(t) = f\left(\frac{t}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt betrachte ein beliebiges $\begin{eqnarray*} t_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ und die Folge der

$\begin{eqnarray*} t_n = \frac{t_0}{2^n} \; , \ n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Bestimme $\begin{eqnarray*} f(t_n) \end{eqnarray*}$ , führe den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ durch und verwende die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

31.12.2004, 11:59

etzwane

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Gegeben: f(x)=f(2x)
Gesucht: f(x)

Wenn die gesuchte Funktion f(x) differenzierbar ist, kann auf beiden Seiten der Gleichung differenziert werden. Nehmen wir also an, dass wir das dürfen, und beweisen hinterher, dass wir das durften.

Links differenziert ergibt: df(x)/dx
Rechts differenziert ergibt mit z=2*x und dz=2*dx:
df(z)/dx=df(z)/dz*dz/dx=df/z)/dz*2

Somit: df(x)/dx=2*df(z)/dz.
Schon daraus kann man schließen, dass df(x)/dx=0 sein muss, aber rechnen wir einfach mal formal weiter.

Links steht eine Funktion von x alleine, rechts von z alleine, beide Seiten müssen also gleich sein einer Konstanten, z.B. K (die aus der Aufgabenstellung noch näher zu bestimmen ist, wenn möglich).

Linke Seite: df(x)=K*dx, also f(x)=K*x+C1 (mit Integrationskonstante C1)
Rechte Seite: df(z)=K/2*dz, also f(z)=K/2*z+C2, oder mit x anstelle von z: f(x)=K/2*x+C2

Also muss sein für alle x: f(x) = K*x+C1 = K/2*x+C2

Durch Koeffizientenvergleich folgt sofort: K=0 und C1=C2=C
somit bleibt: f(x) = C = konstant für die gesuchte Funktion

02.01.2005, 09:40

Yoko

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Frohes neues Jahr, man ist wieder nüchtern und kann sich an Mathe ranmachen smile

Danke für eure Antworten, aber könntet ihr mir nochmal etwas zu Stetigkeit erzählen?

Danke yoko

02.01.2005, 15:34

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Na, zu Stetigkeit gibt es jede Menge zu erzählen. Augenzwinkern

Was du hier noch brauchst, ist die folgende Eigenschaft jeder stetigen Funktion:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} f(t_n) = f\left(\lim\limits_{n\to\infty} t_n\right) \end{eqnarray*}$
muss für jede konvergente Folge (t_n) gelten.

Jetzt musst du das nur noch auf Leopolds Folge anwenden.

09.01.2005, 15:32

BraiNFrosT

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Ich verstehe immernoch nicht wie man
daraus die Schlussfolgerung zieht das alle
Funktionswerte gleich sind.

Anschaulich ist es mir klar.
Also da f stetig ist gilt

$\begin{eqnarray*} x_n \to x_o \Rightarrow f(x_n) \to f(x_o) \end{eqnarray*}$
Für alle x_n im Definitionsbereich. (?)

Ausserdem gilt

$\begin{eqnarray*} f(x_o) = f(2x_o) \end{eqnarray*}$

Und nu ?

Kann ich jetzt behaupten das der Grenzwert x_o beliebig aus
IR ist und damit alle Funktionswerte gleich sein müssen ?

09.01.2005, 15:47

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Zu jedem reellen t_0 gilt für t_n=t_0/2^n:

$\begin{eqnarray*} f(t_n)=f(t_0) \end{eqnarray*}$

also liegt eine konstante Folge dieser Funktionswerte vor, also konvergiert diese Folge natürlich gegen diese Konstante, und das ist f(t_0).

Andererseits folgt aber aus der Stetigkeit der Funktion f an der Stelle t=0:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}f(t_n)=f\left(\lim\limits_{n\to\infty} t_n\right)=f(0) \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} f(t_0)=f(0) \end{eqnarray*}$

für alle reellen Zahlen t_0.

Und das ist nichts anderes als die konstante Funktion - ich hoffe, das war im Zusammenhang mit Leopolds obigen Ausführungen klar und ausführlich genug.

09.01.2005, 16:37

BraiNFrosT

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Ja, nun hats endlich *klick* gemacht, danke. Ich finde die Lösung
faszienierend, aber wäre wohl nie allein darauf gekommen unglücklich

Ich werd gleich mal die nächsten Aufgaben posten mit
denen ich Schwierigkeiten habe.

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