Produktentwicklung - Zetafunktion

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30.12.2004, 13:12	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
Produktentwicklung - Zetafunktion Ich versuche nachzuvollziehen, wieso $\begin{eqnarray} \zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6} \end{eqnarray}$ . In dem Script, was ich habe steht die Produktentwicklung $\begin{eqnarray} \frac{sin(z)}{z}=\prod_{n=-\infty\neq 0}^{\infty}\left(1-\frac{z}{\pi n}\right)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\pi^{2}n^{2}}\right) \end{eqnarray}$ Die zweite Gleichung ist klar. Aber wieso gilt die erste? In der Board Suche hab ich zu Produktentwicklung nichts gefunden. Wenn man diese Gleichung dann mit der Potenzreihenentwicklung $\begin{eqnarray} \frac{sinz}{z}=\sum_{k=0}^{\infty}~{(-1)^{k}\frac{z^{2k}}{(2k+1)!}} \end{eqnarray}$ vergleicht, soll es zu sehen sein. Aber wie? Weierstraßscher Produktsatz? grummlt...
30.12.2004, 13:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schreibweise $\begin{eqnarray} \prod\limits_{\substack{n=-\infty\\n\neq 0}}^{\infty} a_n \end{eqnarray}$ ist meines Erachtens nur dann zulässig, wenn das unendliche Produkt absolut konvergiert, d.h., unabhängig von der Reihenfolge der Produktbildung. Das ist hier aber nicht der Fall, für z<0 etwa ist $\begin{eqnarray} \prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{z}{\pi n}\right)=+\infty \end{eqnarray}$ Wenn also "gleich schnell" nach +- Unendlich gegangen werden soll, sollte man auch gleich $\begin{eqnarray} \prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{z}{\pi n}\right)\left(1+\frac{z}{\pi n}\right) \end{eqnarray}$ schreiben, das ist dann das rechte Produkt.
31.12.2004, 10:09	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
...ja, das klingt sinnvoll...
06.01.2005, 14:30	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
...ich kann allerdings immernoch nicht die Parallele zwischen der Potenzreihenentwicklung und der Produktentwicklung des sinus ziehen. Ich hab zwar auch noch 2 andere beweise für $\begin{eqnarray} \zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6} \end{eqnarray}$ gefunden, aber dieser hier scheint mir doch noch der einfachste zu sein...
06.01.2005, 14:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wie man auf die Produktdarstellung kommt, weiß ich jetzt auch nicht - deswegen setze ich mal voraus, dass sie stimmt. Jetzt musst du diese nur noch ausmultiplizieren (! unendliches Produkt !), und dann nur den Koeffizient vor z² mit dem der Potenzreihenentwicklung vergleichen, also Stichwort Koeffizientenvergleich. Dann erhältst du direkt die Summenformel.
06.01.2005, 15:39	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
humm.... keine chance, so wies aussieht. krieg ich nicht hin. wo kommen die sechstel nun her? Bei Mathworld steht ein Beweis, bei dem die Maclaurinsche Form vom Sinus benutzt wird. Ist die Form dort so richtig? Es ist doch immer +-+-+- und nicht -++++, oder? http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html die gleichungen (12)(13)(14). Wie man auf gleichung (15) kommt, ist mir auch wieder unklar. Wieso betrachtet man plötzlich nur noch die (3!) ? Dass $\begin{eqnarray} \zeta(2)~\pi^{2} \end{eqnarray}$ wird deutlich. Aber wieso die sechstel?
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06.01.2005, 15:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich schreib mal den Anfang (der reicht ja) des "Ausmultiplizierens auf: $\begin{eqnarray} \prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right)=1-\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\pi^2 n^2}\right) z^2+\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=n+1}^{\infty}\frac{1}{\pi^4 n^2m^2}\right)z^4-+\ldots \end{eqnarray}$ Und die Potenzreihenentwicklung ist $\begin{eqnarray} \frac{\sin z}{z}=1-\frac{z^2}{6}+\frac{z^4}{120}+\sum_{k=3}^{\infty}~{(-1)^{k}\frac{z^{2k}}{(2k+1)!}} \end{eqnarray}$ Und jetzt Koeffizientenvergleich bezüglich $\begin{eqnarray} z^2\quad \end{eqnarray}$ !!! EDIT: Ich hab mir gerade http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html angeschaut - das ist im Prinzip derselbe Weg wie bei mir oben.
07.01.2005, 11:56	grumml	Auf diesen Beitrag antworten »
achwas, ich muss jetzt lediglich $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{\pi^{2}n^{2}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{6} \end{eqnarray}$ gleichsetzen... unfassbar einfach. danke! (eine Formel $\begin{eqnarray} \forall\ \zeta(2n) \end{eqnarray}$ kann ich jetzt aber nicht direkt daraus ablesen, oder?)
07.01.2005, 12:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
In schöner expliziter Darstellung sicher nicht, aber vielleicht rekursiv (hab ich noch nicht probiert, sieht aber gut aus)? Zumindest $\begin{eqnarray} \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} \end{eqnarray}$ kann man aus dem Koeffizienten vor $\begin{eqnarray} z^4 \end{eqnarray}$ nach kurzer Zwischenrechnung und unter Benutzung des eben bewiesenen $\begin{eqnarray} \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray}$ ermitteln. P.S.: Und natürlich meinst du $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{\pi^{2}n^{2}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ gleichsetzen.

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