Gedrehtes Koordinatensystem

30.12.2004, 14:45	InspectorGadget	Auf diesen Beitrag antworten »
Gedrehtes Koordinatensystem Hab hier eine Aufgabe mit der ich überhaupt nicht zurecht komme. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte: Ein Raumschiff fliegt in R² = C mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung der x-Achse. (Wie üblich fassen wir R als Teilmenge von C = R² auf.) Physiker P1 benutzt die kanonischen Einheitsvektoren e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1) = i als Koordinatensystem; in diesem ist der Ort des Raumschiffes zur Zeit t gegeben durch r(t) = (t, 0) = t . Physiker P2 benutzt ein sich um 0 drehendes Koordinatensystem, dessen (zeitabhängige) Achsen er für die Richtschnüre des Universums hält, und die durch e1'(t) = (cos(t), sin(t)) = cos(t) + i sin(t) und e2'(t) = (-sin(t), cos(t)) = -sin(t) + i cos(t) gegeben sind. Wie lauten die (reellen) Koeffizienten a(t), b(t) der Darstellung r(t) = a(t)e1'(t) + b(t)e2'(t) im System vom P2 explizit?
30.12.2004, 17:40	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gedrehtes Koordinatensystem Seien $\begin{eqnarray} \vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Einheitsvektoren des unverdrehten Koordinatensystems. Sei $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} cos(t) & -sin(t)\\ sin(t) & cos(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Matrix für die Drehung der Basisvektoren (Kontrolle durch Ausmultiplizieren). Dann erhält man die Darstellung des Vektors $\begin{eqnarray} v= \begin{pmatrix} t \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ im gedrehten Koordinatensystem, indem man v mit der Inversen von A multipliziert. A ist eine orthonormale Matrix. Deshalb gilt Inverse(A) = Transponierte(A) (Satz der LA). Damit $\begin{eqnarray} AT= \begin{pmatrix} cos(t) & sin(t)\\ -sin(t) & cos(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und ATv = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(t) & sin(t)\\ -sin(t) & cos(t)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix} = t\cdot \begin{pmatrix} cos(t) \\ -sin(t)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Gruss yeti
30.12.2004, 20:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
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