lustiges integrale-berechnen... :(

30.12.2004, 16:07

Millhouse

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lustiges integrale-berechnen... :(

hallo.
habe hier nen haufen integrale, stecke aber schon beim ersten wieder fest unglücklich

unglücklich

das integral heißt

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{-1}~e^x\cdot cosx~dx \end{eqnarray*}$

ich nehme an, dass da die produktintegration am sinnvollsten ist... also:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{-1}~e^x\cdot cosx~dx = [e^x\cdot sinx]_{-1}^1 - \int_{1}^{-1}~e^x\cdot sinx~dx \end{eqnarray*}$

1. ist das überhaupt richtig so?
2. wenn ja - wie geht es weiter?
3. kann mir jemand vielleicht ein paar tipps geben, wann welche methode am effektivsten ist...?

30.12.2004, 16:12

grybl

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RE: lustiges integrale-berechnen... :(
bist schon auf dem richtigen Weg.

du musst das neue Integral nochmal partiell integrieren und dann etwas umformen

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{-1}~e^x\cdot cosx~dx=....... - \int_{1}^{-1}~e^x\cdot cosx~dx \end{eqnarray*}$

machts klick?

30.12.2004, 16:20

Millhouse

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sorry, ich weiß leider echt nicht was du meinst verwirrt

verwirrt

was meinst du mit "nochmal partiell integrieren"...? was bedeutet das überhaupt..? ich habe doch jetzt parteille integration gemacht, oder? soll ich das mit dem neuen integral jetzt wieder machen? das leuchtet mir irgendwie nicht so ganz ein... wie soll das denn dann aussehen....?
sorry, aber soeben wurde alle klarheit beseitigt Hilfe

Hilfe

30.12.2004, 16:28

grybl

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das tut mir aber leid, dass ich deine Klarheit beseitigt habe.

Du hast ja schon richtig einmal partiell integriert mit

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{-1}~e^x\cdot cosx~dx = [e^x\cdot sinx]_{-1}^1 - \int_{1}^{-1}~e^x\cdot sinx~dx \end{eqnarray*}$

jetzt bleibt aber da doch wieder ein Integral $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{-1}~e^x\cdot sinx~dx \end{eqnarray*}$ stehen. Dieses integrierst du wieder partiell

und dann bekommst du eine Gleichung in der Form (ich tu mal die Grenzen weg)

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^x\cdot cosx~dx = e^x\cdot sinx - \int_{}^{}~e^x\cdot sinx~dx= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^x\cdot sinx - (e^x\cdot (-cosx)-\int_{}^{}~e^x\cdot (-cosx)~dx) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^x\cdot cosx~dx = e^x\cdot sinx +e^x\cdot cosx-\int_{}^{}~e^x\cdot cosx~dx \end{eqnarray*}$

und jetzt formst du das ganze um, dass $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^x\cdot cosx~dx \end{eqnarray*}$ auf einer Seite steht, dann musst du nur noch durch 2 dividieren et voilà

30.12.2004, 16:55

Millhouse

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jetzt verstehe ich!! ich hab diese regel irgendwie nie ganz gerallt, aber jetzt merke ich grade dass es ja eigentlich total simpel ist... Mit Zunge

Mit Zunge

eine frage hätt ich da aber noch, und zwar bei diesem schritt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^x\cdot sinx - (e^x\cdot (-cosx)-\int_{}^{}~e^x\cdot (-cosx)~dx) \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^x\cdot cosx~dx = e^x\cdot sinx +e^x\cdot cosx-\int_{}^{}~e^x\cdot cosx~dx \end{eqnarray*}$

ich versteh nicht ganz wie da das minus vor den cosinüssen wegfällt und zwischen den beiden stammfunktionen in der mitte plötzlich dann ein plus steht...
und noch was: wenn ich die grenzen nun einsetze, muss ich doch die eine grenze in die erste stammfunktion und die zweite grenze in die zweite stammfunktion einsetzen, oder?

30.12.2004, 17:05

iammrvip

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weil man das aus den integral ziehen kann:

$\begin{eqnarray*} = e^x\cdot \mbox{sin}(x) - \left(e^x(-\mbox{cos}(x)) - \int e^x(-\mbox{cos}(x))~\mbox{d}x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^x\cdot \mbox{sin}(x) + e^x\mbox{cos}(x) + \int~e^x(-1)\mbox{cos}(x)~\mbox{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^x\cdot \mbox{sin}(x) + e^x\mbox{cos}(x) + \int~(-1)e^x\mbox{cos}(x)~\mbox{d}x \end{eqnarray*}$

die -1 ziehen wir raus

$\begin{eqnarray*} = e^x\cdot \mbox{sin}(x) + e^x\mbox{cos}(x) + (-1)\int~e^x\mbox{cos}(x)~\mbox{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^x\cdot \mbox{sin}(x) + e^x\mbox{cos}(x) - \int~e^x\mbox{cos}(x)~\mbox{d}x \end{eqnarray*}$

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30.12.2004, 17:07

Leopold

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Und wie kommt es hier zum ersten "Plus"?

30.12.2004, 17:14

iammrvip

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hatte oben das minus vergessen hinzuschreiben. du warst anber schneller als ich editieren könnte Big Laugh

Big Laugh

.

30.12.2004, 17:18

Millhouse

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Zitat:

Original von iammrvip
weil man das aus den integral ziehen kann:

$\begin{eqnarray*} = e^x\cdot \mbox{sin}(x) - \left(e^x(-\mbox{cos}(x)) - \int e^x(-\mbox{cos}(x))~\mbox{d}x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^x\cdot \mbox{sin}(x) + e^x\mbox{cos}(x) + \int~e^x(-1)\mbox{cos}(x)~\mbox{d}x \end{eqnarray*}$

diesen schritt kann ich immer noch nicht nachvollziehen.
du stellst das minus vom ersten cos vor die klammer, dadurch wird das minus vor der klammer zu plus. aber warum wird dann gleichzeitig das minus vor dem integral zum plus?

30.12.2004, 17:21

Leopold

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- ( A·(-B) - C ) = - ( -A·B - C ) = A·B + C

30.12.2004, 17:27

Millhouse

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Hammer

dankeschön!

dann bleibt da noch die frage mit den grenzen..
ind der mitte steht ja jetzt: $\begin{eqnarray*} ...e^x\cdot sin(x) + e^x\cdot cos(x)... \end{eqnarray*}$ , also die stammfunktion der integrale. muss ich jetzt die eine grenze in die eine stammfunktion und die andere in die andere einsetzen oder muss ich die beiden stammfunktionen irgendwie zusammenrechnen?

30.12.2004, 17:31

iammrvip

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du hast jetzt:

$\begin{eqnarray*} \int e^x\mbox{cos}(x)~\mbox{d}x = e^x\mbox{sin}(x) +e^x\mbox{cos}(x) - \int e^x\mbox{cos}(x)~\mbox{d}x \end{eqnarray*}$

jetzt rechnest du:

$\begin{eqnarray*} + \int e^x\mbox{cos}(x)~\mbox{d}x \end{eqnarray*}$

dann steht auch beiden seiten der gleichung??

30.12.2004, 17:31

Leopold

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Du bringst erst einmal das Integral von der rechten Seite der Gleichung auf die linke. Dann teilst du durch 2. (So hat das grybl vorhin schon gemeint.) Und schon hast du die fertige Stammfunktion.

30.12.2004, 17:37

Millhouse

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mh... also ist die stammfunktion einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}[e^x\cdot sin(x)+e^x\cdot cos(x)]_{-1}^1 \end{eqnarray*}$

30.12.2004, 17:39

iammrvip

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richtig

Freude

. jetzt musst du nur noch einsetzen.

30.12.2004, 17:42

Millhouse

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mein gott... das war ne schwere geburt smile

smile

da kommt so richtig freude auf wenn man mal an die klausur denkt..........

30.12.2004, 17:52

iammrvip

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aber du hast sowas schon mal gemacht. da fällt dir das dann leichter Freude

Freude

und du erkennst neues schneller und kannst besser darauf reagieren.

30.12.2004, 18:10

Millhouse

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ja vielleicht hast du recht... trotzdem ist da noch ziemlich viel sand im getriebe....

und jetzt sitz ich immer noch am gleichen integral, habe eingesetzt und die klammern aufgelöst und jetzt sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{e\cdot sin(1)}{2}+\frac{e\cdot cos(1)}{2}-\frac{sin(1)}{2e}-\frac{cos(1)}{2e} \end{eqnarray*}$

lässt sich so ein gebilde weiter vereinfachen oder ist hier schicht im schacht...?

30.12.2004, 18:16

iammrvip

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nö. man könnte noch ausklammern. aber das musst nicht sein.

eine frag noch. ist die untere grenze 1 und die obere -1 oder umgekehrt??

30.12.2004, 18:20

Millhouse

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...umgekehrt - warum? ist was falsch?

30.12.2004, 18:26

iammrvip

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ist doch noch ein vorzeichenfehler drin.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left[e^x\mbox{sin}(x)+e^x\mbox{cos}(x)\right]_{-1}^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left[e^1\mbox{sin}(1)+e^1\mbox{cos}(1) - \left(e^{-1}\mbox{sin}(-1) + e^{-1}\mbox{cos}(-1)\right)\right]_{-1}^1 \end{eqnarray*}$

30.12.2004, 18:28

Millhouse

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so, jetzt müsste es stimmen:
$\begin{eqnarray*} \frac{e\cdot sin(1)}{2}+\frac{e\cdot cos(1)}{2}+\frac{sin(1)}{2e}+\frac{cos(1)}{2e} \end{eqnarray*}$

30.12.2004, 18:28

iammrvip

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japp

Freude

30.12.2004, 20:43

Mathespezialschüler

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Nein, falsch! Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{e\cdot \sin 1}{2}+\frac{e\cdot \cos 1}{2}+\frac{\sin 1}{2e}-\frac{\cos 1}{2e} \end{eqnarray*}$

und warum das so ist, da werdet ihr schon noch selbst drauf kommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.12.2004, 20:45

iammrvip

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Zitat:

Original von Millhouse
so, jetzt müsste es stimmen:
$\begin{eqnarray*} \frac{e\cdot sin(1)}{2}+\frac{e\cdot cos(1)}{2}+\frac{sin(1)}{2e}+\frac{cos(1)}{2e} \end{eqnarray*}$

wieso hast du das nochmal editier?? da stand doch vorhin noch was anderes böse

böse

@MSS
genau das stand vorm editieren da...

31.12.2004, 02:55

Millhouse

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sorry... dachte ich hätte mich verrechnet... habe deinen post danach nicht gesehn... geschockt

geschockt

schande über mein haupt! sorry...
und danke für den hinweis!

31.12.2004, 14:22

grybl

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neues Integral => neues Thema smile

smile

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