konvergenz einer Reihe !??!

30.12.2004, 17:27

AntzXXX

konvergenz einer Reihe !??!

Ich habe folgende Reihe, und soll die SUMME berechnen:

Reihr:

SUMME von k=2 bis oo (1/(k*WURZEL(k-1)))

Wiess jemand , ob Sie divergent oder konvergent ist, und wenn ja gegen was konvergent ???

Danke im Voraus!!!!!

30.12.2004, 18:18

Mazze

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Du meinst diese Reihe?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~\frac{1}{k*\sqrt{k-1}} \end{eqnarray*}$

30.12.2004, 18:21

AntzXXX

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Ja, genau die meinte ich, hast du ne Ahnung ?

30.12.2004, 18:54

AntzXXX

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Kann mir denn niemand helfen ???

30.12.2004, 20:48

Mathespezialschüler

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Probiers mal mit dem Wurzelkriterium!

30.12.2004, 22:58

yeti777

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RE: konvergenz einer Reihe !??!
Hallo Antz,

Ich denke nicht (Irrtum ausgeschlossen), dass das Wurzelkriterium hier greift, weil die vorgelegte Reihe langsamer konvergiert, als die geometrische und der Beweis des Wurzelkriteriums mit der geometrischen Reihe als Majorante geführt wird. Dagegen ist es mir gelungen, mit dem Integralkriterium den Wert der Reihe zu berechnen.

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x\cdot\sqrt{x-1} } , x\in [2,\infty ] \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion ist positiv und fallend mit wachsendem x. Deshalb darf das Integralkriterium angewendet werden, das besagt, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty ~ \frac{1}{k\cdot \sqrt{k-1} } \end{eqnarray*}$ und das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\infty }~\frac{1}{x\cdot \sqrt{x-1} } ~dx \end{eqnarray*}$ das gleiche Konvergenzverhalten haben (siehe zB. H.Heuser, Lehrbuch der Analysis I, Seite 484).

Wenn du das Integral auswertest, erhältst du $\begin{eqnarray*} \pi /2 \end{eqnarray*}$ als Resultat, was gemäss dem erwähnten Satz auch gerade den Reihenwert darstellt.

Gruss yeti

30.12.2004, 23:23

Mathespezialschüler

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Stimmt, hab mich vertan mit dem Wurzelkriterium.
Aber: Gleiches Konvergenzverhalten heißt nicht gleicher Grenzwert! Das heißt nur, ist das eine konvergent, dann auch das andere. Und ist das eine divergent, dann auch das andere (bei bestimmter Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ auch das andere gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , gleiches für $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ).
Und wenn du dir den Beweis mal anguckst, dann wird da nämlich nicht bewiesen, dass die Grenzwerte gleich sind. Und wenn du mal in Aufgabe 7 des gleichen Abschnitts guckst (S.485), dann steht da:

Zitat:

Unter den Voraussetzungen, des Integralkriteriums strebt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^n~f(k)-\int_m^n~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ fallend gegen eine Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha\in [0,f(m)] \end{eqnarray*}$ .

Was man höchstens schlussfolgern kann, ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{k\cdot \sqrt{k-1}}\geq \int_2^{\infty}~\frac{1}{x\cdot \sqrt{x-1}}~dx\geq \sum_{k=3}^{\infty}~\frac{1}{k\cdot \sqrt{k-1}}=\sum_{k=2}^{\infty}~\frac{1}{k\cdot \sqrt{k-1}}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

oder anders:

$\begin{eqnarray*} \int_2^{\infty}~\frac{1}{x\cdot \sqrt{x-1}}\leq \sum_{k=2}^{\infty}\leq \int_2^{\infty}~\frac{1}{x\cdot \sqrt{x-1}}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn deine Auswertung richtig ist, dann gilt also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}\leq \sum_{k=2}^{\infty}\leq \frac{\pi+1}{2} \end{eqnarray*}$

edit: Das Integral hab ich grad nochmal selbst berechnet, is richtig "ausgewertet".

30.12.2004, 23:40

yeti777

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@Mathespezialschüler

Gut gebrüllt, Löwe! Du hast völlig recht. Bei mir ist es Beispiel 4 auf Seite 485. Ich habe wohl eine ältere Ausgabe des "Heuser's" (bin selber auch ein alter Knochen und komme erst mit Matheboard wieder langsam in Fahrt!).

Gemäss Heuser müsste die Differenz zwischen Reihe und Integral demnach im Intervall [0,f(m)] = [0,1/2] liegen. Einverstanden?

Die Konvergenz der Reihe haben wir nun nachgewiesen. Aber wie berechnet man nun den Reihenwert verwirrt

???

Gruss aus dem verschneiten Appenzellerland!

yeti

Edit1: Hoppla, habe gerade gesehen, dass du in der Zwischenzeit nicht untätig warst. Das muss ich mir zuerst in Ruhe ansehen.

30.12.2004, 23:45

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von yeti777
Edit1: Hoppla, habe gerade gesehen, dass du in der Zwischenzeit nicht untätig warst. Das muss ich mir zuerst in Ruhe ansehen.

Das, was ich da gemacht hab, is genau diese Abschätzung aus Aufgabe 7. Wenn man meine drei Zeilen da verallgemeinert, dann bekommt man den Beweis für die Aufgabe 7.
Das is also auch deine Abschätzung, damit bin ich natürlich zufrieden Augenzwinkern

Zitat:

@Mathespezialschüler

Gut gebrüllt, Löwe!

Musste sein nach meinem Debakel mit dem Wurzelkriterium Augenzwinkern

30.12.2004, 23:49

yeti777

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@Mathespezialschüler

Sehr schöne Abschätzung. Chapeau! Leider fehlt sie in meiner Ausgabe des Heuser. Und wiederum habe ich etwas zugelernt!

Gruss yeti

30.12.2004, 23:57

AntzXXX

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Erstmal vielen Dank für die bisherrigen Antworten.

Die Summe ist aber auf jeden Fall größer als PI/2. Das habe ich mit Derive ausprobiert.

Kann man denn nun irgendwie den genauen Wert bestimmen, oder ist nur die gezeigte Annäherung möglich ?

30.12.2004, 23:59

Mathespezialschüler

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Also bei mir wird der Beweis damit geführt, sie müsste bei dir also auch stehen (es sei denn, damals hatte er nen anderen Beweis).
Leider ist meine Abschätzung noch nicht ganz der Beweis für die Aufgabe, es fehlt noch das "fallend" *g*
edit: "fallend" beweisen war ganz einfach.

Zitat:

Original von yeti777
Aber wie berechnet man nun den Reihenwert verwirrt

???

Gute Frage ...

Übrigens hast du vorhin ja versucht, eine komplette Lösung zu geben, auch wenns nich geklappt hat. Lies dir das mal durch Augenzwinkern

@AntzXXX
Ich denke schon, dass der Grenzwert berechnet werden kann, aber im Moment weiß ich leider noch nicht, wie wir das schaffen können. Ich versuch mal, irgendwas zusammen zu bekommen ...

01.01.2005, 13:53

AntzXXX

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Danke dann erstmal !!! werd mal selber weiter schauen

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konvergenz einer Reihe !??!

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