Konvergenzradius

02.05.2007, 22:40

MrMilk

Konvergenzradius

Hallo,

ich habe eine kurze Frage zum Thema konvergenzradius. Der Sinh ist wie folgt definiert, wenn ich mich nicht ganz täusche: $\begin{eqnarray*} sinh :=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!} \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage ist nun, darf ich hier nun für den Radius $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ folgende Formel verwenden:

$\begin{eqnarray*} \rho=lim_{k\to \infty}|\frac{a_k}{a_{k+1}}| \end{eqnarray*}$

Leider bin ich mir da grade nicht ganz sicher :-(
Mein Problem ist, dass im Exponenten $\begin{eqnarray*} 2k+1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ steht...

Bin über eine Antwort dankbar.

Viele Grüße
-- MrMilk

03.05.2007, 08:23

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von MrMilk
Mein Problem ist, dass im Exponenten $\begin{eqnarray*} 2k+1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ steht...

Das kann man umgehen, indem man schreibt $\begin{eqnarray*} x^{2k+1} = x \cdot x^{2k} \end{eqnarray*}$ und dann für positive x die Substitution $\begin{eqnarray*} x = \sqrt y \end{eqnarray*}$ nimmt.

03.05.2007, 09:32

MrMilk

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Hallo klarsoweit,

wenn ich das richtig verstehe, kann ich diese Formel nutzen.
Es sollte gilten, dass für sinh und cosh der Radius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , richtig?

Viele Grüße
-- MrMilk

03.05.2007, 10:13

klarsoweit

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So sollte es sein.

03.05.2007, 13:02

MrMilk

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Das hört sich super an ;-)

Eine Frage noch zu der Schreibeweise:

Würde ich es wie folgt notieren:

$\begin{eqnarray*} \rho=lim_{k \to \infty}\frac{a_k}{a_{k+1}}=lim_{k\to \infty}\frac{\frac{1}{!(2k+1)}}{\frac{1}{!(2k+3)}} \end{eqnarray*}$

Irgendwie sagt mir mein Bauchgefühl, dass es noch nicht ganz korrekt ist :-(

Viele Grüße
-- MrMilk

03.05.2007, 13:17

klarsoweit

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Ich würde das so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \rho = \lim_{k \to \infty}\frac{a_k}{a_{k+1}} = \lim_{k\to \infty}\frac{\frac{1}{(2k+1)!}}{\frac{1}{(2k+3)!}} \end{eqnarray*}$

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