Ungleichungssystem umwandeln

02.05.2007, 22:54

Sunwater

Ungleichungssystem umwandeln

Ich habe folgendes Ungleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & - 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das soll ich in ein äquivalentes Ungleichungssystem der Form:

$\begin{eqnarray*} Ax \leq b, x \geq 0 \end{eqnarray*}$

umformen, wobei A eine geeignete Matrix ist, b ein geeigneter Vektor und x ein Vektor mit zwei Komponenten.

Wir haben eine Möglichkeit gelernt, das System umzuschreiben, bei der man allerdings die Anzahl der Variablen verdoppeln muss... - jetzt sollen wir das in diesem Fall aber halt nicht machen

02.05.2007, 23:35

Ben Sisko

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Als formale (und immer mögliche) Lösung würde mir auch nur das Verdoppeln der Variablen einfallen.

Was man hier machen könnte, wäre das Ungleichungssystem so umzuformen, dass 2 der Ungleichungen nur eine Variable enthalten (die andere Koeffizienten 0 hat) und die geforderte zusätzliche Ungleichung dominieren, also sowas wie $\begin{eqnarray*} x_1 \geq 2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist klar, dass auch $\begin{eqnarray*} x_1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt und du darfst letztere einfach hinzufügen (denn äquivalent heisst ja nur, dass die Ungleichungssysteme dieselbe Lösungsmenge besitzen und diese änderst du nicht durch Hinzufügen einer sogenannten redundanten Ungleichung).

Gruß vom Ben

03.05.2007, 10:54

Dual Space

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BEEEN!!!!

Mensch schön dich mal wieder hier zu sehen ... hoffe dir geht es soweit gut. Kannst ja bei Gelegenheit berichten, wie es dir so ergeht. smile

Sorry fürs OT, aber das musste mal sein.

03.05.2007, 14:30

Sunwater

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naja - ich kann mir das nicht ganz vorstellen...

wenn man das Gebiet aufmalt, denn liegt es im 1.,2. und 4. Quadranten. d.h. die Variablen so wie sie gegeben sind können nicht nur positiv sein um das Gebiet zu beschreiben. Irgendwie müssen sie also noch transformiert werden. Aber auch eine Verschiebung in den 1. Quadranten ist nicht möglich, da das Gebiet in Richtung x_1 < 0 unbeschränkt ist.

03.05.2007, 18:14

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Sunwater
wenn man das Gebiet aufmalt, denn liegt es im 1.,2. und 4. Quadranten. d.h. die Variablen so wie sie gegeben sind können nicht nur positiv sein um das Gebiet zu beschreiben. Irgendwie müssen sie also noch transformiert werden. Aber auch eine Verschiebung in den 1. Quadranten ist nicht möglich, da das Gebiet in Richtung x_1 < 0 unbeschränkt ist.

Dann hast du meines Erachtens keine Chance, dass Ganze mit 2 Variablen zu beschreiben.

OT Wink

Stefan

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