ganzrationale Funktionen |
| 31.12.2004, 12:11 | OH_Bartleby | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ganzrationale Funktionen
Moin,ich habe da zwei relativ banale Probleme, dessen Lösung mir leider etwas schwer ist. 1. Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat die Hochpunkte (-3/4) ; (3/4) und den Tiefpunkt (0/-1). Ermitteln Sie die Funktionsgleichung. 2. Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat den Hochpunkt (-1/16) und den Wendepunkt (1/0). Ermitteln Sie die Funktionsgleichung. Ich wäre über alle Lösungen bzw. Lösungshinweise sehr dankbar. edit: Smiley deaktiviert (MSS) |
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| 31.12.2004, 12:18 | Hilfesuchender | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stell doch erstmal die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 4.grades auf. Dann hast du durch die Punkte Bedingungen gegeben und durch die Eigenschaften der Punkte(dein tiefpkt hat z.b. f'(0)=0) dann hast du ein gleichungssystem und kannst deine Funktion errechnen. |
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| 31.12.2004, 18:21 | Mr. Guitar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi. Ich würde sagen bei dieser Aufgabe gibt es unendlich viele Lösungen. Aber ich würde es so machen: 1) f(x) = ax + bx³ + cx² + dx + e 2) f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d Dann die 3 gegebenen Punkte in f'(x) einsetzen: (I) 4 = -108a + 27b - 6c +d (II) 4 = 108a + 27b + 6c + d (III) -1 = d (I) + (II) gibt: 8 = 54b + 2d (IV) (III) in (IV) einsetzen gibt: 8 = 54b - 2 ==> b = 5/27 Dann: b und d in (I) oder (II) einsetzten und bspw. nach c auflösen. Dann erhälst du c in Abhängikeit von a. ( c=18a) Für a kannst du jetzt einen beliebigen wert einsetzen. Jetzt hast du alle Werte für die gesuchte Funktion. e ist auch ein frei wählbarer parameter. Meiner Ansicht müsste die Aufgabe so gehen. Falls jemand nen Fehler sieht, bitte schreiben. Die zweite Aufgabe müsste genau so gehen |
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| 31.12.2004, 18:40 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
leider überhaupt nicht richtig! 
wenn ein Punkt Hoch- oder Tiefpunkt ist, dann ist sein f' 0! siehe Beitrag Hilfesuchender! |
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| 01.01.2005, 10:50 | OH_Bartleby | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielne dank für eure Hinweise. Den Ansatz mit den Punkten der 1. Ableitung hatte ich selbst schon am Wickel. Aber irgendwie hat es mich nicht so recht weiter gebracht, wenn ich weiss, dass: Bei f´(x) Nullpunkte bei (-3/0) 
0/0)
3/0) sind.Oder bringt es mir doch etwas? |
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| 01.01.2005, 14:00 | hummma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also die allgemeine Funktionsgleichung heisst: Und jetzt weisst du dass bei einem Extrema gelten muss. f'(x)=0 Des kannst du dann in die 2. Gleichung einsetzen. Des kannst jetzt fuer die anderen beiden Extrema noch machen. Dann hast schonmal 3 Gleichungen. Auf die 4. und 5. Gleichung kommst du indem du die Punkten in f(x) einsetzt. Und dann brauchst nur noch des Gleichungssystem loesen. Eigentlich musst du jetzt noch eine Probe machen obs so eine Funktion ueberhaupt gibt. (Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist ja nur eine notwendige Bedinung fuer ein Extrema und durch 3. Extrema kommst du auf 6 Gleichungen fuer 5 Variablen, das Gleichungssystem muss also nicht unbedingt loesbar sein). |
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| 01.01.2005, 14:12 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nachdem die Hochpunkte (-3/4) und (3/4) sind, nehme ich an, dass die Funktion symmetrisch bzgl. der y- Achse ist. Würde daher nicht unbedingt sagen, dass eine Überdefiniton vorliegt. |
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| 01.01.2005, 14:54 | Mr. Guitar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh verdammt... Erst denken, dann schreiben 
Des war ja völliger Bockmist, was ich da geschrieben hab! Man kann doch keine Kurvenpunkte in die Ableitung einsetzen!!! Hab da irgendwie gepennt. War wohl mit dem Kopf schon bei der Sylvesterparty *g*. Sorry!!! Passiert eben auch den Besten ab und zu :P 
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| 01.01.2005, 15:44 | hummma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt die Funktion muss achsensymmetrisch zur y-Achse sein. Dann kann men den Ansatzt natuerlich leichter machen. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet ja dann: |
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| 01.01.2005, 20:46 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein anderer Lösungsweg benutzt, dass die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte gegeben sind. Aus f'(x)=0 bei den angegebenen Punkten folgt doch sofort für f'(x) = (x+3)*(x-0)*(x-3) = 0, d.h. f'(x) = a*(x³-9x) = 0 als Bestimmungsgleichung für die Hoch- und Tiefpunkte bei Berücksichtigung eines konstanten Faktors a. Diese Gleichung integriert ergibt schon mal für f(x) = a/4*x^4 - 9a/2*x²+b. Für x=0 folgt f(0)=b=-1 aus (0|-1). EDIT: die folgenden beiden Zeilen der ursprünglichen Rechnung sind falsch! Für x=3 folgt a*81/4-a*81/2=4 aus (3|4), also a*81/4=4, also a=16/81 Somit: f(x) = 4/81*x^4 - 8/9*x² - 1 EDIT: richtig dagegen ist: Für x=3 folgt a*81/4-a*81/2-1=4 aus (3|4), also -a*81/4=5, also a=-20/81 Somit: f(x) = -5/81*x^4 + 10/9*x² - 1 EDIT: Probe ergänzt Für (3|4) folgt mit x=3: f(3)=(-5/81)*81+(10/9)*9-1=-5+10-1=4 So müsste es nun stimmen. Natürlichen führen die anderen Lösungsansätze auch zum Ziel, so wird jedoch direkt eine Eigenschaft für Hoch- und Tiefpunkte benutzt. |
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| 02.01.2005, 14:38 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@etzwane: die Lösung mit dem Integrieren birgt den Haken, dass man zu dem zeitpunkt, wo man verkehrte Kurvendiskussionen durchführen soll, meistens noch nicht integrieren kann. Trotzdem schöner Lösungsweg.
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| 04.01.2005, 11:41 | OH_Bartleby | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Moin, vielen Dank nochmals für eure Hilfe. Auch wenn ich den letzten Beitrag nicht so ganz verstanden habe, versuchte ich ihn nachzuvollziehen. Jedoch wenn ich den Graphen der Funktion zeichne, stimmt die Lage der Hochpunkte nicht, sie liegen bei jeweils bei -4y und nicht bei +4y. Auch bei der vorherigen Lösung verstehe ich etwas nicht, welche punkte soll ich wie oder was wo einsetzten?
Ich wäre über ein paar Tipps sehr dankbar |
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| 04.01.2005, 11:51 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Versuchs doch mal mit diesem Tipp! du brauchst nur mehr 3 Gleichungen: f(3) = 4 f(0) = -1 f'(3)= 0 probiers mal.
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| 04.01.2005, 12:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
irgendwo ist in etzwane's Rechnung ein Fehler. Fassen wir mal zusammen. grybl's Ansatz mit einer symmetrischen Funktion liefert die allgemeine Gleichung: f(x) = a*x^4 + c*x² + e wegen f(0) = -1 ist schon mal e = -1 Der Rest ergibt sich aus f(3) = 4 und f'(3) = 0 Das liefert 2 Gleichungen für die Parameter a und c. Schreib mal deine Rechnung hin. |
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| 04.01.2005, 17:17 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
b ist mMn vergessen worden. |
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| 04.01.2005, 19:13 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh, oh ..., da sind sogar 2 Fehler in der Rechnung bei der Ermittlung von a, einmal das b vergessen, und dann noch mit falschem Vorzeichen gerechnet. Ich habe die Rechnung oben korrigiert und kann nur um Entschuldigung bitten. Und was kann ich daraus lernen: - Nicht gleich hier ins Board schreiben. - Nicht zu viel im Kopf rechen. - Immer eine Probe machen. |
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| 04.01.2005, 19:24 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fehler können passieren, niemand ist unfehlbar.
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