grenzwerte

01.01.2005, 19:14

MichiSS.

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grenzwerte

hi alle zusammen. Wünsche euch allen erstmal neues frohes jahr!
Hab hier bisschen probleme bei einer aufgabe und hoffe, dass ihr mir weiter helfen könnt. Ich muss die folgenden halbseitigen grenzwerte bestimmen mit begründung:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \frac{sin^2 x }{x} \end{eqnarray*}$
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \frac{sin x }{x} \end{eqnarray*}$ --> 1 und deswegen strebt dann ja auch die ganze funktion gegen 1, aber das reicht ja glaube ich nicht aus und ich weiß leider auch nicht wie ich dieses begründen soll.

Gruß Michael

01.01.2005, 19:32

hummma

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Ich wuerds mit der Kleinwinkelnaeherung erklaeren.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sin\ x = x \end{eqnarray*}$

Es gibt zwar mathematisch exaktere Wege, aber fuer die Schule reicht die Erkaelrung aus.

01.01.2005, 19:38

Mathespezialschüler

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Nein, der Grenzwert ist 0!! Denn

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}\frac{\sin^2(x)}{x}=\lim_{x\searrow 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\cdot \sin(x)\right)=\lim_{x\searrow 0}\frac{\sin(x)}{x}\cdot \lim_{x\searrow 0}\sin(x)=1\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$

Die Regel $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to a} f(x)\cdot \lim_{x\to a} g(x) \end{eqnarray*}$ dürfte bekannt sein, sie wurde oben benutzt.

01.01.2005, 19:59

n!

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leichter geht es mit der Regel von L'Hospital. Augenzwinkern

Augenzwinkern

@MichiSS.

Also,falls du mit der Rechnung von MSS nicht so klar kommst,kannst du -sofern du sie kennst- anwenden,wobei der Weg von MSS auch relativ einleuchtend ist.

01.01.2005, 20:16

hummma

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Es hat doch nie wer was andre behauptet. verwirrt

verwirrt

01.01.2005, 20:19

Mathespezialschüler

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RE: grenzwerte

Zitat:

Original von MichiSS.
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \frac{sin x }{x} \end{eqnarray*}$ --> 1 und deswegen strebt dann ja auch die ganze funktion gegen 1

Das habe ich so interpretiert.

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01.01.2005, 20:20

iammrvip

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Vielleicht bloß im Tafelwerk nachgeguckt verwirrt

verwirrt

01.01.2005, 21:11

MichiSS

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}\frac{\sin^2(x)}{x}=\lim_{x\searrow 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\cdot \sin(x)\right)=\lim_{x\searrow 0}\frac{\sin(x)}{x}\cdot \lim_{x\searrow 0}\sin(x)=1\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$

Hi, vielen dank für die mühe! Was mich abe an dieser aufgabe irritiert hat, ist dass die von mir die halbseitigen grenzwerte haben wollen. Ist ja links und rechts gemeint. Aber bei beiden kommt doch dassselbe raus, deswegen wäre es doch dasselbe, wenn sie mir sagen würden, ich soll den folgenden grenzwert bestimmen und nicht die halbseitigen grenzwerte oder?

01.01.2005, 21:22

Mathespezialschüler

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Ja, auf Schulniveau hast du Recht! Aber auf anderem Niveau nicht. Denn der beidseitige Grenzwert existiert ja sowieso nur dann, wenn links- und rechtsseitiger existieren und übereinstimmen, das heißt, wenn du einen beidseitigen Grenzwert berechnest, machst du eigentlich nichts anderes als links- und rechtsseitigen zu berechnen und zu überprüfen, ob sie beide gleich sind. In deinem Kopf passiert das so natürlich nicht, aber wenn man sich die Definition hernimmt, dann müsste man es immer so machen, es sei denn, man hat vorher schon Aussagen bewiesen, womit man weiß, dass der beidseitige Grenzwert existiert und dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}f(x) \end{eqnarray*}$ nur ein anderes Zeichen dafür.

01.01.2005, 21:46

MichiSS

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es ist ja auch kein schulniveau, sondern uni. Und ich muss ja auch noch die funktion mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \frac{sin^2 x}{2 - sin x} \end{eqnarray*}$ betrachten, aber ich finde deine rechnung richtig gut und aussagefähig, deswegen weiß ich ja auch nicht, ob es ausreicht, dass ich das so hinschreibe für die halbseitigen grenzwerte oder ob es doch nicht ausreicht

01.01.2005, 22:03

iammrvip

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versuch umzuformen, dass du l'Hospital anwenden kannst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

01.01.2005, 22:06

Mathespezialschüler

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Also, du kannst das so machen, wie ich es aufgeschrieben hab, dazu müsst ihr aber folgendes bewiesen haben:

Falls $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow a}f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow a}g(x) \end{eqnarray*}$ beide existieren, so gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow a}(f(x)g(x))=\lim_{x\searrow a}f(x)\lim_{x\searrow a}g(x) \end{eqnarray*}$

Dann müsst ihr noch die Stetigkeit der Sinusfunktion bewiesen haben, ihr müsst nicht mal $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$ bewiesen haben, das braucht man nicht mal, ihr müsst nur bewiesen haben, dass der existiert.
Wenn ihr die Stetigkeit des sin bewiesen habt, dann geht das 2. Beispiel doch kinderleicht!

@iammrvip
Warum l'Hospital, wenns so einfach geht?

01.01.2005, 22:18

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@iammrvip
Warum l'Hospital, wenns so einfach geht?

Das zum einen. Zum anderen würde ich mal behaupten
das bei der Aufgabenstellung l'Hospital noch gar nicht
benutzt werden darf.

02.01.2005, 00:16

MichiSS

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Dann müsst ihr noch die Stetigkeit der Sinusfunktion bewiesen haben, ihr müsst nicht mal $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$ bewiesen haben, das braucht man nicht mal, ihr müsst nur bewiesen haben, dass der existiert.
Wenn ihr die Stetigkeit des sin bewiesen habt, dann geht das 2. Beispiel doch kinderleicht!

wenn ich mich nicht täusche, dann beweise ich die stetigkeit der funktion, indem ich die 0 für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \end{eqnarray*}$ einsetze oder irre ich mich da?

02.01.2005, 01:58

Mathespezialschüler

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Ich meinte, dass müsstet ihr schon gemacht haben in der Vorlesung!
Wenn ihr das noch nicht gemacht habt, dann dürfen wir nämlich $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 0}\sin(x)=0 \end{eqnarray*}$ gar nicht benutzen, es sei denn, diesen Grenzwert habt ihr "einzeln" bewiesen.

02.01.2005, 02:13

MichiSS

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momentan behandeln wir ja das thema und ich glaube, dass wir es so in die richtung gemacht haben, nur aus meinen skripten werde ich einfach nicht sehr schlau, deswegen weiß ich nicht genau, wie ich dieses nachweisen soll außer mit der halbseitigen grenzwertbetrachtung.

02.01.2005, 04:22

Poff

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich meinte, dass müsstet ihr schon gemacht haben in der Vorlesung!
Wenn ihr das noch nicht gemacht habt, dann dürfen wir nämlich gar nicht benutzen, es sei denn, diesen Grenzwert habt ihr "einzeln" bewiesen.

so funktioniert UNI nicht.()
Du musst was entsprechend Richtiges, evtl mit passendem
Hinweis auf usw. verfassen, dann kommt das schon hin.
Es muss halt schlüssig passen.

Alles andere wär wieder Schulkrams mit Nachplapperstil ...
.

02.01.2005, 16:17

MichiSS

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Was würdet ihr mir denn raten jetzt zu machen?

02.01.2005, 20:23

Mathespezialschüler

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@Poff
Wie genau meinst du das?? Du meinst, man sollte es selber beweisen oder wie??

@MichiSS
Ich würde dir gerne weiterhelfen, dazu müssten wir aber trotzdem mal wissen, was ihr bis jetzt gemacht habt.
Und wenn du es nicht weißt, dann musst du halt selber die Stetigkeit vom Sinus beweisen.
Dazu müsste man dann wieder mal wissen, wie ihr den Sinus definiert habt.

02.01.2005, 22:47

Poff

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Poff
Wie genau meinst du das?? Du meinst, man sollte es selber beweisen oder wie?? ...

Nein, man sollte sich nur nicht so verbissen genau am Vorlesungskram
orientieren. Richtig begründet und richtig zitiert muss es in Ordnung
sein. Uni will doch kein verlängerter KG sein und weiter forcierte
Erziehung zum kastrierten Denken leisten ... hatten wir noch nicht
darf ich nicht usw ... das ist ja geradezu lächerlich für eine Hochschule.

Sicherlich gibts das auch, leider, aber daran zu orientieren ??
Nein danke, das stünde konträr zu den eigentlichen Zielen ...
.

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