hilfe beim beweis

Neue Frage »

01.01.2005, 21:05	Starlight2	Auf diesen Beitrag antworten »
hilfe beim beweis hi, die funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R --->\mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x -> \frac{\mid x \mid }{1 + \mid x \mid } \end{eqnarray}$ ist in 0 stetig, aber nicht differenzierbar und ich soll diese aussage begründen. Was soll ich machen?
01.01.2005, 21:21	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du schon eine Vorstellung davon, wie die Funktion links und rechts von 0 verläuft ?
01.01.2005, 21:48	Starlight2	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich ehrlich bin, weiß ich nicht mal, wie ich hier anfagen soll, aber ich denke mir, dass die funktion nicht gegen 0 strebt.
01.01.2005, 22:04	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach doch mal eine kleine Tabelle mit x\|f(x) und rechne f(x) aus für -5, -2, -1, 0, 1, 2, 5. Dann trage die erhaltenen Werte skizzenhaft in ein Diagramm ein und schau dir das erhaltene Bild an. Dann musst du noch die Definitionen von Stetigkeit und Differenzierbarkeit geeignet anwenden.
02.01.2005, 00:24	Starlight2	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe jetzt die werte eingesetzt und ich würde sagen, dass die intervalle, auf denen die funktion stetig ist, $\begin{eqnarray} ]- \infty ; + \infty [ \end{eqnarray}$
02.01.2005, 00:58	rad238	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sehe ich auch so. Aber Du musst die Setigkeit ja begründen. Stetig bei x=0 heißt, dass die Funktion an der Stelle nicht springt. Also müssen dafür (in unserem Fall) der linke und der rechte Limes bei x gegen 0 gleich sein. Die kannst Du ja einfach ausrechnen: schreib die Funktion mal auf für x>0 (ohne Betrag) und berechne den Grenzwert bei x gegen 0 (x>0). Dann musst Du die Funktion für x<0 hinschreiben (ohne Betrag, Vorzeichen beachten). Den Limes bei x gegen 0 (x<0) bilden, die beiden Werte vergleichen, fertig. Bei der Diff'barkeit geht das ähnlich. Versuch einfach mal für x<0 und dannach für x>0 zu differenzieren, dann siehst Du wahrscheinlich schon...
Anzeige

02.01.2005, 01:31	Starlight2	Auf diesen Beitrag antworten »
also müsste ich schreiben: für x>0 $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^+} \frac{0}{1 + 0} = 0 \end{eqnarray}$ für x<0 $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^-} \frac{0}{1 + 0} = 0 \end{eqnarray}$ ist es richtig so? aber wieso ist die funktion nicht differenzierbar? vielen dank für den tipp
02.01.2005, 01:31	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: hilfe beim beweis da gibt es so ein tooles tool: plotter werner
02.01.2005, 01:34	Starlight2	Auf diesen Beitrag antworten »
hi wernerrin, ich glaube die grafik kannst du so nicht darstellen, denn du hast es für + und - x gemacht und x ist ja bei meiner funktion in betragsstrichen, d.h. doch dass es immer positiv ist oder sehe ich das falsch?
02.01.2005, 01:48	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: hilfe beim beweis @wernerrin Gib beim Plotter statt der Betragstriche den Befehl abs(x) ein. Das hat den gleichen Effekt . Obwohl ich glaub, dass du das eigentlich weißt @Starlight2 Nein, nein. Deine Funktion hat die Betragstriche. Bilde mal die Ableitung und sieh dir dann eine von oben (d.h. von rechts = von positiven Werten) gegen 0 konvergierende Folge ( $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ ) an. Und dann eine von unten kommende. Was stellst du fest?? Ich hab dir mal eine Skizze angehängt:
02.01.2005, 02:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: hilfe beim beweis @Starlight Damit eine Funktion in einem Punkt a differenzierbar ist, muss $\begin{eqnarray} \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray}$ existieren. Das bedeutet nichts anderes, als dass die beiden Grenzwerte $\begin{eqnarray} \lim_{h\nearrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{h\searrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray}$ existieren und übereinstimmen, also $\begin{eqnarray} \lim_{h\nearrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\searrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \end{eqnarray}$ Du sollst jetzt widerlegen, dass deine Funktion in 0 differenzierbar sei. Dann muss also einer der Grenzwerte nicht existieren oder sie müssen verschieden sein. D.h. für dich: Du betrachtest mal $\begin{eqnarray} \lim_{h\nearrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\nearrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{h\searrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\searrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} \end{eqnarray}$ . Berechne die dochmal explizit für deine Funktion und du wirst sehen, dass sie verschieden sind, womit du auch schon fertig bist.
02.01.2005, 10:40	PK	Auf diesen Beitrag antworten »
Spätestens bei iammrvips Plotter-Grafik sieht man's, warm diese Funtkion bei 0 nicht differenzierbar ist. Es gibt unterschiedliche Steigungen, das ist die einfache Lösung des Problems.

Neue Frage »

Antworten »

hilfe beim beweis

Verwandte Themen