Differentialgleichung

02.01.2005, 13:45

Anaiwa

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Differentialgleichung

Es sei N(t) das Gewicht einer Fischzucht zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$ (gemessen in Wochen). Unter idealen Bedingungen und ohne abfischen beträgt die relative Gewichtszunahme $\begin{eqnarray*} \frac{1}{N}\frac{dN}{dt} \end{eqnarray*}$ der Fischzucht 5 % pro Woche.
Anfänglich sei das Gewicht der Fischzucht 1 Tonne, und die Betreiber der Zucht entscheiden, wöchentlich gleichmässig 55 klg abzufischen.

1) Stellen Sie eine Differentialgleichung der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{dN(t)}{dt}=kN(t)-a \end{eqnarray*}$

für N auf und lösen Sie diese.

$\begin{eqnarray*} dN(t)=(kN(t)-a)dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=(k*\frac{1}{N}-a)dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1(k*\frac{1}{N}-a)dt=[k*ln(N)-at]_0^1=k*ln(N)-a*0+k*ln(N)-a*1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =k*ln(N)+k*ln(N)-a=2*k*ln(N)-a=2*k*log_eN-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=2*k*log_eN <--> e^a=2*k*N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{e^a}{2k}t \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 13:51

etzwane

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} dN(t)=(kN(t)-a)dt \end{eqnarray*}$

Daraus folgt doch $\begin{eqnarray*} \frac{dN(t)}{kN(t)-a}=dt \end{eqnarray*}$ , und jetzt darf integriert werden.

02.01.2005, 13:51

iammrvip

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Wieso benutzt du nicht das Verfahren der Trennung der Veränderlichen (Variablen)??

D.h. beide N und t auf beiden Seite isoliert zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{dN(t)}{dt} = kN(t) - a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dN(t)}{kN(t) - a} = dt \end{eqnarray*}$

Denn $\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{e^a}{2k}t \end{eqnarray*}$ ist nicht die Lösung der DGL.

Und wie kommst du auf den Umformungsschritt?? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} a = 2k\mbox{log}_eN \Leftrightarrow \mbox e^a= 2kN \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 14:03

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int_0^t\frac{dN(t)}{kN(t) - a} \end{eqnarray*}$

bevor ich weiter mache, kann ich das auch so schreiben

dN(t)=x N(t)=y ums zu vereuinfachern?

$\begin{eqnarray*} \int_0^t\frac{x}{ky - a} \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 14:14

iammrvip

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Wieso denn das?? Das macht doch alles noch komplzierter.

Du könntest $\begin{eqnarray*} N = N(t) \end{eqnarray*}$ zur Vereinfachung setzen.

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{kN - a} \end{eqnarray*}$

Auderdem musst du doch jetzt nur integrieren. Warum willst du denn da noch die Variablen ändern??

02.01.2005, 14:21

iammrvip

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sorry. hab ausversehen auf senden gedrück bitte löschen.

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02.01.2005, 14:22

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{kN - a}dN \end{eqnarray*}$ also ein unbestimmtes Integral

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{kN - a}dN=ln|\frac{kN^2}{2}-aN|+C \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 14:24

iammrvip

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Die Stammfunktion stimmt nicht unglücklich

unglücklich

Teile erstmal durch k:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{kN - a}\mbox dN \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{N - \frac{a}{k}}\mbox dN \end{eqnarray*}$

edit: einfach logarithmisches Integrieren benutzen.

02.01.2005, 14:30

Anaiwa

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Hust wie kommt man nru darauf durch k zu teilen das mache ich normalerweise nur wenn da steht:

tk=1/z wenn ich t haben will aberdarauf währ ich net gekommen grml.

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{N - \frac{a}{k}}\mbox dN=ln|\frac{N^2}{2}-a*ln|k||+C \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 14:35

iammrvip

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Wir habt ihr denn DGLen bis jetzt gelöst?? Hier bietet sich eindeutig das Verfahren der Trennung der Veränderlichen an. Das heißt, du bringst alle N auf eine Seite und alles "t" auf eine Seite und integrierst.

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt} = kN - a |\cdot \mbox dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dN = (kN - a)dt | : (kN - a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{kN - a} = dt \end{eqnarray*}$

Und jetzt können wir integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{kN - a} = \int~dt \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 14:45

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{kN - a} = \int~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|\frac{N^2}{2}-a*ln|k||+C =ln|k|+C \end{eqnarray*}$

bis dato richtig

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|N -\frac{a}{k}|+C = ln|k|+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|N -\frac{a}{k}| = ln|k| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{a}{k}+N=e^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 14:49

iammrvip

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{kN - a} = \int~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}dt \end{eqnarray*}$

Bis hier hin alles richtig. Aber, wenn du integriest, musst du entweder substituiere oder du nimmst sofort, die Regel spezielle Substitution des Logarithmischen Integrierens.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)}~dx = ln|f(x)| + C \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 14:58

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|\frac{N^2}{2}-\frac{a}{k}N|+C=ln|k|+C \end{eqnarray*}$ -C

$\begin{eqnarray*} ln|\frac{N^2}{2}-\frac{a}{k}N|=ln|k| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}(\frac{N^2}{2}-\frac{a}{k}N)=e^0 \end{eqnarray*}$

bis hierhin ok?

02.01.2005, 15:00

iammrvip

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} ln|\frac{N^2}{2}-\frac{a}{k}N|+C=ln|k|+C \end{eqnarray*}$ -C

Der schritt stimmt nicht. Sag mal wie du auf Stammfunktion kommst, dann weiß ich wo der Fehler liegt.

Auf der rechten Seite der Gleichung integrierst du aber nach t. (nicht nach k)

02.01.2005, 15:06

Anaiwa

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wir wissen ja $\begin{eqnarray*} 1/x \end{eqnarray*}$ ist ln $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$

und das mit der spezialfunktion da hab ich für $\begin{eqnarray*} f'(x)N-a/k \end{eqnarray*}$

die stammfunktion von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} N^2/2 \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} a/k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a/kN \end{eqnarray*}$ .

da wenn man $\begin{eqnarray*} a/kN \end{eqnarray*}$ ableitet kommt man auf $\begin{eqnarray*} a/k \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} 1/2N^2 \end{eqnarray*}$ kommt man auf $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$

somit laut der Sezialfunktion $\begin{eqnarray*} ln(f(x)) \end{eqnarray*}$ ist es:

und bei $\begin{eqnarray*} 1/k \end{eqnarray*}$ ist es ja logisch das es $\begin{eqnarray*} ln(k) \end{eqnarray*}$ ist. Und da es ein Unbestimmtes Integral ist muss die Variable C ran.

$\begin{eqnarray*} ln|\frac{N^2}{2}-\frac{a}{k}N|+C=ln|k|+C \end{eqnarray*}$ -C

02.01.2005, 15:10

iammrvip

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Du denkst aber sehr, sehr logisch, aber trotzdem ist der letzte Schritt falsch traurig

traurig

Ich zeig es dir mal an einem anderen Beispiel. Wir suchen die Stammfunktion zu

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mbox dx}{x + 1} \end{eqnarray*}$

Logarithmisches Interiegen, also:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = ln|f(x)| + C \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mbox dx}{x + 1} = \int\frac{1}{x + 1}\mbox dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x + 1 \Rightarrow f'(x) = 1 \end{eqnarray*}$ also nach der Regel

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x + 1}\mbox dx = \ln|x + 1| + C \end{eqnarray*}$

du ziehst also bloß das aus dem nenner in den ln. mal bildlich gesprochen.

02.01.2005, 15:51

Anaiwa

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grml weg das ganze zu shcnell gepostet.
ok nochmal

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|N-\frac{a}{k}|=ln|k| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{N-\frac{a}{k}}{k}=e^0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 15:53

iammrvip

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}dt \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt, du integrierst auf der rechten Seite nach t. nicht nach k. du könntest $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ auch aus dem Integral nehmen.

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mbox dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}\mbox dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mbox dN}{N -\frac{a}{k}} = \frac{1}{k}\int\mbox dt \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 15:58

Anaiwa

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$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|N-\frac{a}{k}|=\frac{1}{k}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N-\frac{a}{k}=e^{\frac{1}{k}t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=e^{\frac{1}{k}t}+\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

so nun hoff ich mal ^^

was mich jedoch wundert ist das:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+-a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2+-a^2}| \end{eqnarray*}$ deshlab habe ich auch immer nach dieser form umgestellt.

p.s das mit dem cosinus ^^ das war nicht ich wollt nur helfen aber hab dann wohl was falsch gemacht gg.

02.01.2005, 16:03

iammrvip

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Zitat:

Original von Anaiwa
$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|N-\frac{a}{k}|=\frac{1}{k}t \end{eqnarray*}$

so ok bis dato ^^

Alles richtig Freude

Freude

. Nur noch die Integrationskonstante nicht vergessen!

$\begin{eqnarray*} \ln\left|N-\frac{a}{k}\right|=\frac{1}{k}t + C \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+-a^2}}=ln|x+\sqrt{x^2+-a^2}| \end{eqnarray*}$ deshlab habe ich auch immer nach dieser form umgestellt.

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mbox dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right| \end{eqnarray*}$
Ach ja der schöne Areacosinushyperbolicus...Aber du hast doch gar keine Wurzel im Nenner verwirrt

verwirrt

Zitat:

p.s das mit dem cosinus ^^ das war nicht ich wollt nur helfen aber hab dann wohl was falsch gemacht gg.

Ja hab ich dann auch gesehen Big Laugh

Big Laugh

02.01.2005, 16:05

Anaiwa

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denn mal weiter ^^ auf der leiter

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|N-\frac{a}{k}|=\frac{1}{k}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N-\frac{a}{k}=e^{\frac{1}{k}t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=e^{\frac{1}{k}t}+\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

p.s nette aufgaben da auf dem zettel nicht war ^^ hab auch schon einige gepostet nur leider traut sich keiner rann wie ich ^^ hab zwar was ist aber 100% immer falsch was ich da rechne. bin ich froh wenns in nem monaten vorbei ist und ich bestanden habe.

02.01.2005, 16:07

iammrvip

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bloß noch das C dazu (siehe voriger beitrag) dann stimmt's Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

einer kleiner fehler ist noch. sorry. ich hab nicht richtig hingeguck vorhin

es muss so aussehen

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int k~dt \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 16:10

Anaiwa

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du ich muss doch beide seiten integrieren!!! und somit jeweil ein C ranhängen!!!!! und wenn ich umstelle fällt das C meiner meinung nach weg!?

ähm ich muss doch alles duch k teilen !!! da muss schon einhalb hin!! Da ja 1 duck k ein katel ist ^^ oder irre ich mcih da nun?

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN}{N -\frac{a}{k}} = \int \frac{1}{k}dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|N-\frac{a}{k}|=\frac{1}{k}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N-\frac{a}{k}=e^{\frac{1}{k}t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=e^{\frac{1}{k}t}+\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 16:13

iammrvip

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Nein. Du integrierst und hast zwei voneinander unabhängige Integrationskonstanten:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mbox dN}{N -\frac{a}{k}} = \int k\mbox dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln\left|N -\frac{a}{k}\right| + C_1 = kt + C_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln\left|N -\frac{a}{k}\right| = kt + C_2 - C_1 \end{eqnarray*}$

diese beiden fassen wir zu einer zusammen $\begin{eqnarray*} C = C_2 - C_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln\left|N -\frac{a}{k}\right| = kt + C \end{eqnarray*}$

zum anderen. ja. noch mal sorry. bitte um vergebung Gott

Gott

. du hast doch stehen:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mbox dN}{\mbox dt} = kN - a | : k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}\int\frac{\mbox dN}{\mbox dt} = N - \frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}\int\frac{\mbox dN}{N - \frac{a}{k}} = \mbox dt | \cdot k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mbox dN}{N - \frac{a}{k}} = k\mbox dt \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 16:15

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha nun ist es einleuchtend gggggggg nicht 1/k hust?

$\begin{eqnarray*} N(t)=e^{kt}+\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$ so die ist nun richtig ^^ ODER

hast du lust mir bei den anderen aufgaben auch zu helfen ^^ Hilfe

Hilfe

02.01.2005, 16:22

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

C nicht vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} \ln\left|N -\frac{a}{k}\right| = kt + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t) = e^{kt + C} + \frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 16:30

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{dN(t)}{kN(t) - a} = dt \end{eqnarray*}$

du ich glaub wir habennoch einen fehler!!!

da oben steht die orginal gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}\int\frac{dN(t)}{N(t) - a} = \int dt \end{eqnarray*}$ wenn wa nun mal ka nehmen kommt doch das raus:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dN(t)}{N(t) - a} = \int kdt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|N(t)-a|+C_2=kt+C_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln|N(t)-a|=kt+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)-a=e^{kt+C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=e^{kt+C}+a \end{eqnarray*}$

so diese geleichungs gibs auch ^^ als wachstumsfunktion.

sieht die net besser aus?? Rock

Rock

02.01.2005, 16:35

iammrvip

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das ist die Originalgleichung:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mbox dN}{\mbox dt} = kN - a \end{eqnarray*}$

und jetzt formen wir so um, wie ich geschrieben. das stimmt schon:

Zitat:

Original von iammrvip
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}\int\frac{\mbox dN}{\mbox dt} = N - \frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}\int\frac{\mbox dN}{N - \frac{a}{k}} = \mbox dt | \cdot k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\mbox dN}{N - \frac{a}{k}} = k\mbox dt \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 16:37

Anaiwa

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traurig

ok hast recht aber ich darf ja auch mal versuchen ^^

02.01.2005, 16:43

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Macht nix. Frag lieber, bevor du was nicht richtig verstehst Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

02.01.2005, 16:58

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

son mist nun gehts weiter.

$\begin{eqnarray*} n(t)=e^{kt}+\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

soll sgaen ob die population wächst sinkt oder konstant bleit und wann sie ggf. zumerliegen kommt.

$\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$

sagenwir t ist 0 $\begin{eqnarray*} k \neq 0 \end{eqnarray*}$
dann ist e=1

also steht da noch $\begin{eqnarray*} N(0)=\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$ also bei null

k=1 t=100

$\begin{eqnarray*} N(100)=e^{(100*1+c)}+\frac{a}{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(100)=2,69*10^{43}+c+a \end{eqnarray*}$

also kann man sagen, das die funktion nie zum erliegen kommt und immer weiter wächst?

02.01.2005, 17:00

iammrvip

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Bitte beachte $\begin{eqnarray*} e^0 = 1 \end{eqnarray*}$

da immer $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$

Du kannst es auch ganz einfach begründen, da der Exponent, wenn $\begin{eqnarray*} k > 0 \end{eqnarray*}$ immer postiv ist, ist auch die Funktion auf ihrem gesamten Db streng monton steigend, also wächst die Population.

Wenn $\begin{eqnarray*} k < 0 \end{eqnarray*}$ also immer negativ ist, ist auch die Funktion auf ihrem gesamten Db streng monton fallend, also schrumpft die Population.

Wenn $\begin{eqnarray*} k = 0, C = 0 \end{eqnarray*}$ , ist die funktion ein Konstante, also auch die Population konstant.

02.01.2005, 17:08

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$

sagenwir t ist 0 $\begin{eqnarray*} k \neq 0 \end{eqnarray*}$
dann ist e=1

also steht da noch $\begin{eqnarray*} N(0)=1+\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$ also bei null

k=1 t=100

$\begin{eqnarray*} N(100)=e^{(100*1+c)}+\frac{a}{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(100)=2,69*10^{43}+c+a \end{eqnarray*}$

also kann man sagen, das die funktion wächst.

zum erleigen kommt sie eigendlich nur dann, wenn e^{kt+c}=\frac{a}{k} herscht.

schrumpfen kann sie nie da t größer gleich null

mhh und das reicht dann? diese simple erklärung ist ja klasse dann.

hust Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.01.2005, 17:14

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Empfehlung noch an dich. Man braucht es in der Mathematik nicht, aber in der Biologie, denke ich schon. Wir haben doch die Lösung:

$\begin{eqnarray*} N(t)=e^{kt+C}+\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=e^{kt}e^C+\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

Jetzt bezeichne ich $\begin{eqnarray*} e^C = N_0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ ist dabei die Ausgangpopulation:

$\begin{eqnarray*} N(t)=N_0e^{kt} + \frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

Das macht sich doch besser bei Biologen Freude

Freude

jetzt können wir leicht unterscheiden. $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$ immer gilt. Wenn $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$

wird der Exponent, wenn $\begin{eqnarray*} k > 0 \end{eqnarray*}$ immer postiv ist, auch postiv sein und so ist auch die Funktion auf ihrem gesamten Db streng monton steigend, also wächst die Population.

Wenn $\begin{eqnarray*} k < 0 \end{eqnarray*}$ also immer negativ ist, ist auch die Funktion auf ihrem gesamten Db streng monton fallend, also schrumpft die Population.

02.01.2005, 17:17

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

ähmhast du nun nich das duch k vergessen ^^

aber si kenn ich dei auch die funktion das ist die Temperaturfunktion Z.B um irgendein scheiß ausm offen zu bestimmen was ich in ner klausur net konn^^

also

$\begin{eqnarray*} N(t)=N_0e^{kt}+\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$ und für k=1 koenn wa schreiben

$\begin{eqnarray*} N(t)=N_0e^{t}+a \end{eqnarray*}$

02.01.2005, 17:19

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wenn $\begin{eqnarray*} k = 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Anaiwa
ähmhast du nun nich das duch k vergessen ^^

Wo

verwirrt

Zitat:

aber si kenn ich dei auch die funktion das ist die Temperaturfunktion Z.B um irgendein scheiß ausm offen zu bestimmen was ich in ner klausur net konn^^

Den Satz verstehe ich nicht.

02.01.2005, 17:22

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch in Teilaufgabe a die funktion

$\begin{eqnarray*} N(t)=N_0e^{kt}+\frac{a}{k} \end{eqnarray*}$

hergeleitet und aufeinmal schreibst du nur a?

wie kommt das?

02.01.2005, 17:25

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat ich noch geändert. Schreibfehler. Warst schneller mit Gucken als ich mit Schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

02.01.2005, 17:30

Anaiwa

Auf diesen Beitrag antworten »

gut aber K darf doch gar nicht Null sein!! also kann sich dich kein gleichgewicht einstellen!! das ist eigendlcih unlogisch da es eine population sowas nie gibt!

02.01.2005, 17:34

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Das hab ich auch gelöscht...Is mir auch so aufgefallen Freude

Freude

War ja bloß mathematisch gesprochen (ohne das a/k).

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