Differentialgleichung

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Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung
Es sei N(t) das Gewicht einer Fischzucht zum Zeitpunkt (gemessen in Wochen). Unter idealen Bedingungen und ohne abfischen beträgt die relative Gewichtszunahme der Fischzucht 5 % pro Woche.
Anfänglich sei das Gewicht der Fischzucht 1 Tonne, und die Betreiber der Zucht entscheiden, wöchentlich gleichmässig 55 klg abzufischen.

1) Stellen Sie eine Differentialgleichung der Form



für N auf und lösen Sie diese.












etzwane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung
Zitat:
Original von Anaiwa


Daraus folgt doch , und jetzt darf integriert werden.
 
 
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso benutzt du nicht das Verfahren der Trennung der Veränderlichen (Variablen)??

D.h. beide N und t auf beiden Seite isoliert zu schreiben:






Denn ist nicht die Lösung der DGL.


Und wie kommst du auf den Umformungsschritt?? verwirrt

Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »



bevor ich weiter mache, kann ich das auch so schreiben

dN(t)=x N(t)=y ums zu vereuinfachern?

iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn das?? Das macht doch alles noch komplzierter.

Du könntest zur Vereinfachung setzen.



Auderdem musst du doch jetzt nur integrieren. Warum willst du denn da noch die Variablen ändern??
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

sorry. hab ausversehen auf senden gedrück bitte löschen.
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

also ein unbestimmtes Integral

iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Die Stammfunktion stimmt nicht unglücklich

Teile erstmal durch k:





edit: einfach logarithmisches Integrieren benutzen.
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

Hust wie kommt man nru darauf durch k zu teilen das mache ich normalerweise nur wenn da steht:

tk=1/z wenn ich t haben will aberdarauf währ ich net gekommen grml.

iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Wir habt ihr denn DGLen bis jetzt gelöst?? Hier bietet sich eindeutig das Verfahren der Trennung der Veränderlichen an. Das heißt, du bringst alle N auf eine Seite und alles "t" auf eine Seite und integrierst.

Also:







Und jetzt können wir integrieren:

Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »







bis dato richtig









iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anaiwa




Bis hier hin alles richtig. Aber, wenn du integriest, musst du entweder substituiere oder du nimmst sofort, die Regel spezielle Substitution des Logarithmischen Integrierens.

Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »



-C





bis hierhin ok?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anaiwa
-C

Der schritt stimmt nicht. Sag mal wie du auf Stammfunktion kommst, dann weiß ich wo der Fehler liegt.

Auf der rechten Seite der Gleichung integrierst du aber nach t. (nicht nach k)
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

wir wissen ja ist ln

und das mit der spezialfunktion da hab ich für

die stammfunktion von ist und von ist .

da wenn man ableitet kommt man auf und bei kommt man auf

somit laut der Sezialfunktion ist es:

und bei ist es ja logisch das es ist. Und da es ein Unbestimmtes Integral ist muss die Variable C ran.

-C
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst aber sehr, sehr logisch, aber trotzdem ist der letzte Schritt falsch traurig

Ich zeig es dir mal an einem anderen Beispiel. Wir suchen die Stammfunktion zu



Logarithmisches Interiegen, also:



also:



also nach der Regel



du ziehst also bloß das aus dem nenner in den ln. mal bildlich gesprochen.
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

grml weg das ganze zu shcnell gepostet.
ok nochmal







iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anaiwa


Aber wie gesagt, du integrierst auf der rechten Seite nach t. nicht nach k. du könntest auch aus dem Integral nehmen.



Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »









so nun hoff ich mal ^^

was mich jedoch wundert ist das:

deshlab habe ich auch immer nach dieser form umgestellt.

p.s das mit dem cosinus ^^ das war nicht ich wollt nur helfen aber hab dann wohl was falsch gemacht gg.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Anaiwa




so ok bis dato ^^

Alles richtig Freude . Nur noch die Integrationskonstante nicht vergessen!




Zitat:
deshlab habe ich auch immer nach dieser form umgestellt.



Ach ja der schöne Areacosinushyperbolicus...Aber du hast doch gar keine Wurzel im Nenner verwirrt

Zitat:
p.s das mit dem cosinus ^^ das war nicht ich wollt nur helfen aber hab dann wohl was falsch gemacht gg.

Ja hab ich dann auch gesehen Big Laugh
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

denn mal weiter ^^ auf der leiter









p.s nette aufgaben da auf dem zettel nicht war ^^ hab auch schon einige gepostet nur leider traut sich keiner rann wie ich ^^ hab zwar was ist aber 100% immer falsch was ich da rechne. bin ich froh wenns in nem monaten vorbei ist und ich bestanden habe.
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

bloß noch das C dazu (siehe voriger beitrag) dann stimmt's Augenzwinkern .

einer kleiner fehler ist noch. sorry. ich hab nicht richtig hingeguck vorhin

es muss so aussehen

Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

du ich muss doch beide seiten integrieren!!! und somit jeweil ein C ranhängen!!!!! und wenn ich umstelle fällt das C meiner meinung nach weg!?

ähm ich muss doch alles duch k teilen !!! da muss schon einhalb hin!! Da ja 1 duck k ein katel ist ^^ oder irre ich mcih da nun?







iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du integrierst und hast zwei voneinander unabhängige Integrationskonstanten:







diese beiden fassen wir zu einer zusammen




zum anderen. ja. noch mal sorry. bitte um vergebung Gott . du hast doch stehen:







Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

Aha nun ist es einleuchtend gggggggg nicht 1/k hust?

so die ist nun richtig ^^ ODER

hast du lust mir bei den anderen aufgaben auch zu helfen ^^ Hilfe
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

C nicht vergessen Augenzwinkern .



Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »



du ich glaub wir habennoch einen fehler!!!


da oben steht die orginal gleichung

wenn wa nun mal ka nehmen kommt doch das raus:











so diese geleichungs gibs auch ^^ als wachstumsfunktion.

sieht die net besser aus?? Rock
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

das ist die Originalgleichung:



und jetzt formen wir so um, wie ich geschrieben. das stimmt schon:

Zitat:
Original von iammrvip




Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

traurig ok hast recht aber ich darf ja auch mal versuchen ^^
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Macht nix. Frag lieber, bevor du was nicht richtig verstehst Augenzwinkern .
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

son mist nun gehts weiter.



soll sgaen ob die population wächst sinkt oder konstant bleit und wann sie ggf. zumerliegen kommt.



sagenwir t ist 0
dann ist e=1

also steht da noch also bei null

k=1 t=100





also kann man sagen, das die funktion nie zum erliegen kommt und immer weiter wächst?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte beachte

da immer

Du kannst es auch ganz einfach begründen, da der Exponent, wenn immer postiv ist, ist auch die Funktion auf ihrem gesamten Db streng monton steigend, also wächst die Population.

Wenn also immer negativ ist, ist auch die Funktion auf ihrem gesamten Db streng monton fallend, also schrumpft die Population.

Wenn , ist die funktion ein Konstante, also auch die Population konstant.
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »



sagenwir t ist 0
dann ist e=1

also steht da noch also bei null

k=1 t=100





also kann man sagen, das die funktion wächst.

zum erleigen kommt sie eigendlich nur dann, wenn e^{kt+c}=\frac{a}{k} herscht.

schrumpfen kann sie nie da t größer gleich null

mhh und das reicht dann? diese simple erklärung ist ja klasse dann.

hust Augenzwinkern
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Empfehlung noch an dich. Man braucht es in der Mathematik nicht, aber in der Biologie, denke ich schon. Wir haben doch die Lösung:





Jetzt bezeichne ich . ist dabei die Ausgangpopulation:



Das macht sich doch besser bei Biologen Freude


jetzt können wir leicht unterscheiden. immer gilt. Wenn

wird der Exponent, wenn immer postiv ist, auch postiv sein und so ist auch die Funktion auf ihrem gesamten Db streng monton steigend, also wächst die Population.

Wenn also immer negativ ist, ist auch die Funktion auf ihrem gesamten Db streng monton fallend, also schrumpft die Population.
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

ähmhast du nun nich das duch k vergessen ^^


aber si kenn ich dei auch die funktion das ist die Temperaturfunktion Z.B um irgendein scheiß ausm offen zu bestimmen was ich in ner klausur net konn^^

also

und für k=1 koenn wa schreiben

iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wenn

Zitat:
Original von Anaiwa
ähmhast du nun nich das duch k vergessen ^^

Wo verwirrt

Zitat:
aber si kenn ich dei auch die funktion das ist die Temperaturfunktion Z.B um irgendein scheiß ausm offen zu bestimmen was ich in ner klausur net konn^^

Den Satz verstehe ich nicht.
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch in Teilaufgabe a die funktion



hergeleitet und aufeinmal schreibst du nur a?

wie kommt das?
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat ich noch geändert. Schreibfehler. Warst schneller mit Gucken als ich mit Schreiben Augenzwinkern .
Anaiwa Auf diesen Beitrag antworten »

gut aber K darf doch gar nicht Null sein!! also kann sich dich kein gleichgewicht einstellen!! das ist eigendlcih unlogisch da es eine population sowas nie gibt!
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Das hab ich auch gelöscht...Is mir auch so aufgefallen Freude

War ja bloß mathematisch gesprochen (ohne das a/k).
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