Aufgabe zu Definitheit

03.05.2007, 14:03

Felipe

Aufgabe zu Definitheit

Also eigentlich hab ich die Aufgabe verstanden, nur bin ich vorhin beim Tutorium gewesen und die haben mich irgendwie durcheinander gebracht unglücklich

Gegeben sind

A = $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ und B = $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{ll}|a| & |b| \\ |c| & |d|\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Zeigen sie: Ist A positiv oder negativ definit, so ist B positiv definit.

Die Aufgabe ist ja eigentlich recht einfach, da aber kein Körper angegeben wurde, über die die Matrizen definiert sind, sollen wir den komplexen Körper $\begin{eqnarray*} C^{2 x 2} \end{eqnarray*}$ nehmen...

Damit überhaup von Definitheit die Rede sein kann, muss die Matrix doch Symmetrisch sein, in diesem Fall doch sogar hermitsch oder nicht?

Symmetrie gilt doch nur bei nicht-komplexen Matrizen, sodass $\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$ gilt oder?
Hermitesch bedeutet doch $\begin{eqnarray*} A=A^*=\overline{A}^T \end{eqnarray*}$ und gilt dann für komplexe Matrizen oder? Gibt es einen Unterschied zwischen hermitesch und selbsandjungiert?

Man hat mir gesagt, dass daher a,d reele Zahlen sein müssen und $\begin{eqnarray*} c=\overline{b} \end{eqnarray*}$

Ich hab das mal nachgerechnet und bin dann aber auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} A = \left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) = A^* = \left(\begin{array}{ll}\overline{a} & \overline{b} \\ \overline{c} & \overline{d}\end{array}\right)^T = \left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

das bedeutet doch, dass c = b sein muss und alle elemente komplex bleiben können oder nicht?

wenn ich aber nur

$\begin{eqnarray*} A = \left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) = A^T = \left(\begin{array}{ll}\overline{a} & \overline{b} \\ \overline{c} & \overline{d}\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ rechne,

dann komme ich auf genau das Ergebnis, dass a,d reel sind und $\begin{eqnarray*} c=\overline{b} \end{eqnarray*}$ . Aber ich muss doch dafür sorgen, dass A hermitesch ist!

ich weiß einfach nicht, wo mein Denkfehler ist. Den Rest schaffe ich wohl, aber ohne diesen Schritt, komme ich nicht weiter.

04.05.2007, 14:01

attze

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Moin Felipe Big Laugh

Ich ware zwar nciht beim Tutorium, aber Meyer-Nieberg hatte in der Vorlesung hinter "selbstadjungiert" "hermitisch" geschrieben. Ist also nur eine andere Bezeichnung.

Wenn man nun sagen kann, dass selbstadjungiert bedeutet, dass A sysmetrisch ist, dann ist das wieder ganz einfach.

Da wir laut Aufgabe davon ausgehen dürfen, dass A positiv oder negativ Definit ist, wissen wir von A nämlich,dass c=b ist und das a und d reell sind. Das gleiche gilt dann auch für B nur das a und d eben positiv sind.

Die Frage ist: selbstadjungiert = symetrisch?

04.05.2007, 22:42

Mazze

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Zitat:

selbstadjungiert = symetrisch?

Im Reellen bezüglich dem Standartskalarprodukt ja, im Komplexen nein.

Zitat:

Damit überhaup von Definitheit die Rede sein kann, muss die Matrix doch Symmetrisch sein, in diesem Fall doch sogar hermitsch oder nicht?

Falsch es gibt positiv definite Matrizen die nicht symmetrisch sind. Für solche Matrizen gilt das Eigenwertkriterium dann übrigens nicht mehr. Folgende Matrix ist positiv definit
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

denn es ist

$\begin{eqnarray*} x^T\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}x = x_1^2 + x_1x_2 - x_1x_2 +x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 > 0 ~~ falls~x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Aussage

Zitat:

dass A positiv oder negativ Definit ist, wissen wir von A nämlich,dass c=b ist

natürlich falsch.

Im übrigen sind reelle symmetrische Matrizen eine Teilmenge der hermitschen Matrizen. Man findet ähnliche Beispiele auch für Matrizen über komplexen Zahlen, wähle etwa i,-i für c,b.

Diese Schwierigkeiten tun der Vernachlässigung der Symmetrie kund. Wie gesagt, positiv definite Matrizen sind nicht zwingen symmetrisch/hermitesch, nur definiert man oft definitheit für symmetrische Matrizen, die reine Definition für positiv definit ist jedoch:

$\begin{eqnarray*} x^TAx > 0 \end{eqnarray*}$

für eine Matrix A, hier wird nicht im entferntesten irgendetwas über symmetrie gesagt.

So wie ich das sehe sind in deinen Vorraussetzungen nicht symmetrisch/hermitesch gegeben, wenn mans genau machen möchte darf man also nicht von symmetrie/hermitheit (?) ausgehen.

Zitat:

Symmetrie gilt doch nur bei nicht-komplexen Matrizen, sodass gilt oder?

Es gibt natürlich auch symmetrische Matrizen über komplexen Zahlen, nur sind diese nicht notwendigerweise selbstadjungiert.

Zitat:

Ich ware zwar nciht beim Tutorium, aber Meyer-Nieberg hatte in der Vorlesung hinter "selbstadjungiert" "hermitisch" geschrieben. Ist also nur eine andere Bezeichnung.

Auch nur im endlichdimensionalen.

05.05.2007, 09:44

attze

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Jetzt bin ich auch verwirrt.

05.05.2007, 09:53

tigerbine

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Also, ich stimme dem von Mazze zu, sehe aber vielleicht eine Möglichkeit die Verwirrung zu lösen. Es gilt der folgende Satz:

Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer (bzw. unitärer) Vektorraum Vmit einer Orthonormalbasis B und sei $\begin{eqnarray*} F \in End(V) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \text{F ist selbstadjungiert } \Leftrightarrow ~M_B(F) \text{ symmetrisch (bzw. hermitisch)} \end{eqnarray*}$

"Gleicheit" ist das natürlich nicht. Denn links steht ein Endomorphismus, rechts seine Darstellende Matrix bzgl. der ONB. Augenzwinkern

05.05.2007, 19:54

Felipe

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so.. jetzt hab ich es auch endlich wieder geschafft online zu kommen smile

aber irgendwie hat mich das ganze nur noch mehr verwirrt.. muss mir das ganze wohl nochmal richtig durch den kopf gehen lassen..

@attze schön jemanden hier zu haben, der die vorlesungen mitschreibt Augenzwinkern

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