Vektoren |
| 03.01.2005, 12:26 | wsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Vektoren Sei Z[x] die Menge aller Polynome in x mit Koeffizienten aus der Menge der ganzen Zahlen Z. Zeigen Sie: Z[x] ist kein Vektorraum über R. Dabei sind die Verknüpfungen + und * wie stets im Zusammenhang mit Polynomen definiert. Danke |
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| 03.01.2005, 12:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aufgabenstellung ist ziemlich absurd. Der Aufgabensteller mogelt sich nämlich mit der Bemerkung "wie stets im Zusammenhang" heraus zu erklären, wie die skalare Multiplikation eigentlich definiert sein soll. |
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| 03.01.2005, 13:23 | wsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aha, und das geht darum nicht, weil wenn man ein polynomen mit ganzen koeffizienten mit einer reellen zahl multipliziert, kommt keine ganze zahl raus? |
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| 03.01.2005, 13:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So ist es. Es kommen nicht zwangsläufig ganze Zahlen heraus. Die Aufgabe ist etwa so absurd, wie wenn man sagte: Man zeige, daß die Funktion f(x) = wurzel(-1-x²) nicht stetig ist. Die reelle Wurzel wird dabei wie üblich definiert. 
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| 03.01.2005, 16:43 | wsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bei dieser Aufgabe verstehe ich b nicht: (ob a Antwort ausreihend ist und ob c richtig ist, bin ich mir auch nicht sicher) Sei R[x] die Menge aller Polynome in x mit Koeffizienten aus der Menge der reellen Zahlen R. Zeigen Sie: a) R[x] ist ein Vektorraum über R. Dabei sind die Verknüpfungen + und • wie stets im Zusammenhang mit Polynomen definiert. b) Geben Sie eine Basis für den Vektorraum R[x] an. Beweisen Sie, dass die von Ihnen angegebene Menge eine Basis ist. c) Folgern Sie daraus, welche Dimension der Vektorraum R[x] hat. meine Lösung: a) Es ist ein Vektorraum, weil wenn man polynomen mit reellen koeffizienten mit einer reellen zahl multipliziert, auch reelle Zahlen rauskommen c) unendlich |
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| 03.01.2005, 17:21 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
zu a) musst halt die vektorraumaxiome nachprüfen, das sollte einfach gehen..... z.b. das polynom 0 ist der gesuchte nullvektor (neutralelement der vektoraddition), inverses element.... abgeschlossenheit.... die skalare multiplikation erfolgt dann wohl komponentenweise, indem du jeden koeffizienten des polynoms mit dem skalar multiplizierst. da sollten keine schwierigkeiten auftreten, aber deine aussage ist als beweis noch etwas dünn. als tip: deine polynome sehen so aus: mit den a_k aus IR und nur endlich vielen a_k ungleich 0. zu b) überlege dir mal, was eine basis für alle polynome kleiner gleich dem grad d (festes d aus IN) wäre.... und danach überleg dir dann, was du wählen musst, wenn d eben nicht beschränkt ist. wie bist du denn auf c) gekommen ohne b)? immerhin ist ja die dimension gleich der basislänge?! mfg jochen |
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| 05.01.2005, 20:41 | wsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
basis = grad d + 1 daher auch dimension = grad d + 1 ? |
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| 05.01.2005, 20:44 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
?! dimension = Kardinnalität der basis, das hat nix mit grad zu tun (nur eben indirekt, weil die basiskardinalität ja vom maximalen polynomgrad abhängt). also was wäre denn eine basis für alle polynome vom grad kleiner gleich 2... die sehen so aus: ax²+bx+c, also? mfg jochen |
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| 05.01.2005, 21:22 | wsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1? sorry bin zu dumm dafür ... |
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| 05.01.2005, 21:38 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(c) könnte man indirekt machen: Man nehme an, es gäbe eine endliche Basis. Für diese endliche Basis existiert ein Grad m, der größer ist als alle Grade der in der Basis vorkommenden Elemente. Das Polynom vom Grad m ist jedoch auch Element des Polynomrings. Jetzt zeigt man schnell: (Analoges für die Sklalarmultiplikation) |
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| 06.01.2005, 00:47 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das soll eine basis sein für alle polynome der form ax²+bx+c?! nein.... denk mal nach...... ich gebe dir mal nen tip: eine basis für alle polynome der form ax+b (grad kleinergleich 1) wäre z.b. {x,1}.... denn daraus kannst du alle obigen polynome der form ax+b linearkombinieren. wie sieht also eine basis für die polynome vom grad kleinergleich 2 aus? wie dann eine für die von beliebigen grad? ist diese endlich? (s. c)) mfg jochen |
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| 06.01.2005, 01:07 | wsch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also grad <= 2 muss so aussehen {1,x,x²} beliebigen grad : {1,x,x²,.....x^n} ? die können unendlich sein, oder? |
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| 06.01.2005, 01:17 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das, was du hast ist grad kleinergleich n..... du kannst tatsächlich als basis die einfache unendliche reihe {1,x,x²,x³,........} wählen (ohne ende). dann noch zeigen, dass das eine basis ist (erzeugendensystem, sollte einfach sein.... und lineare unabhängigkeit, sollte auch nicht schwer sein) und du bist fertig. mfg jochen ps: das ist übrigens (natürlich) nicht die einzigste basis, aber die einfachste. und alle anderen haben die gleiche kardinalität..... |
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