Polynomdivision

03.01.2005, 13:21

Gast.

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Polynomdivision

Moin,
muss mich mal wieder ein bissl auf die Schule vorbereiten, rechne deswegen den Zettel durch, den wir mitbekommen haben:

Da ist folgende Aufgabe zu finden:
f(x)=1/2^3-4x^2+8x

Nullstellen sollen wir sowieso immer durch probieren rausbekommen, unser Lehrer legt nicht viel Wert auf das Ausrechnen, bzw. er hält es für sinnlos.
Also meine Nullstellen sind 0 und 4.

Die Polynomdivision sieht dann so aus:

1/2x^3-4x^2+8x : (x-4)

Sollte ja auch korrekt sein, oder?

Nuja, jetzt der schwierigste Teil ^^

1/2x^3-4x^2+8x : (x-4)=1/2x^2-6x

Diese Unterrechnung weiß ich nicht hinzuzufügen, also vom rein technischen her ^^ - ich kann sie ja dazu schreiben).

Als erste:
1/2x^3-4x^2 (Aus der Formel)
-1/2x^3-2x^2

Dann der zweite Teil:
-6x^2+8x
-(-6x^2)+24x

Dann kommt beim Dritten:
32x

Weiter weiß ich nicht, mal abgesehen davon, dass die Division soweit überhaupt richtig ist :/

Wäre super, wenn ihr mir, falls die Rechnung falsch ist verwirrt

verwirrt

, die Polynomdivision an Hand der oben genannten Formel nochmal erklären könntet. Habe natürlich schon im Forum gesucht, aber da gibt's so viele Beiträge, die das nicht so gut erklären.

Danke!

Edit: Latex scheint nicht zu funktionieren? Habs mal entfernt.

03.01.2005, 14:57

klarsoweit

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RE: Polynomdivision
ich gehe mal auf deine Ausführungen nicht näher ein.

ich schreibe die Polynomdivion mal so hin:
(0,5*x³ - 4x² + 8x) : (x - 4) = ???
man geht jetzt so vor, dass man das höchste Polynom aus dem ersten Term (= 0,5*x³)
durch das höchste Polynom aus dem zweiten Term (= x) dividiert. Das ergibt 0,5*x².
Das schreibt man mal hin und rechnet zurück, indem man 0,5*x² * (x - 4) rechnet und das
unter den ersten Term schreibt, eine Klammer drum macht und ein Minus davorsetzt. Also:
(0,5*x³ - 4x² + 8x) : (x - 4) = 0,5*x²
-(0,5*x³ - 2x²)
---------------------
-2x² + 8x

Man erhält den Rest -2x² + 8x. Damit macht man das gleiche Verfahren.
Bitte das mal selbst rechnen.

03.01.2005, 15:40

grybl

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RE: Polynomdivision
@Gast: du hast hier (rote Markierung in deinem Post) einen Fehler gemacht. Vergleich mal mit klarsoweits richtigem Ansatz.

04.01.2005, 13:55

Gast.

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So, bei mir kommt dann schlussendlich 1/2x^2-2x .
Meine Frage, die sich jetzt ergibt, was mache ich eigentlich in der Kurvendiskussion mit dem Ergebnis? Man kann ja eigentlich nur die Nullstellen "überprüfen", oder nicht? verwirrt

verwirrt

Jetzt steht in der Aufgabe noch, dass wir die Funktion auf Symmetrie untersuchen sollen. Die Fuktion war: f(x)=1/2x^3-4x^2+8x - ich habe dann als Grund für keine Symmetrie geschrieben, dass die Funktion ungrade Exponenten hat. Ist glaube ich richtig soweit, oder?

Dann müssen wir Extremwerte bestimmen. In der Formelsammlung steht immer was von Lokales Minimum / Maximum Oo.. habs mal nach dem Schema ausgerechnet, also:

f'(x)=3/2x^2-8x+8
f''(x)=3x-8

f''(x)=0 => 3x-8=0 => x=8/3 damit wäre x > 0 und dann ist es ein Lokalels Maximum, also ein Extrempunkt, oder? Die dritte Ableitung ist ja 3=0, von daher ist es auch kein Wendepunkt. Was mich aber irritiert ist in der Aufgabenstellung, dass wir noch das Minimum und Wendepunkte raussuchen sollen. Wie gehe ich da vor? Rechnen werde ich es nachher natürlich alleine, ich brauche nur den Tritt in die richtige Richtung, also einen Denkanstoß, oder sowas Oo.

Wäre über eure Hilfe sehr dankbar Big Laugh

Big Laugh

04.01.2005, 14:09

klarsoweit

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Stichwort Nullstellen: Die sind immer praktisch zu wissen, vor allem, wenn man die Funktion im Koordinatensystem mal zeichnen soll.

Stichwort Symmetrie: Funktion ist achsen-symmetrisch zur y-Achse, wenn alle Exponenten gerade sind bzw. allgemein f(-x) = f(x) gilt.
Funktion ist punkt-symmetrisch zum Ursprung, wenn alle Exponenten ungerade sind bzw. allgemein f(-x) = - f(x) gilt.
In deinem Fall hat die Funktion gerade und ungerade Exponenten, ist also ...?

Zitat:

Original von Gast.
f''(x)=0 => 3x-8=0 => x=8/3 damit wäre x > 0 und dann ist es ein Lokalels Maximum, also ein Extrempunkt, oder? Die dritte Ableitung ist ja 3=0, von daher ist es auch kein Wendepunkt.

hää

verwirrt

Bei den Extremwerten und Wendepunkten scheint bei dir was durcheinander zu gehen. Schau dir nochmal genau an, was notwendige und hinreichende Bedingungen für Extremwerte und Wendepunkte sind. Schreibe sie am bestem mal hier hin.

04.01.2005, 14:42

Gast.

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Jo:

Bei Extrempunkten muss die Funktion mindestens zweimal differenzierbar sein, oder sehe ich da was falsch? Dann wird die zweite Ableitung einfach gleich Null gesetzt und ausgerechnet, wenn x > 0 ist dann ist es ein Maximum, wenn x < 0 dann ein Minimum Oo.. so viel kann ich zumindest aus der Formelsammlung entnehmem. Wenn x = 0 rauskommt, muss man die dritte Ableitung machen und wenn dort auch x = 0 rauskommt, dann ist der Punkt ein Wendepunkt .. bzw. man braucht ja noch y Koordinate, von daher setzt man halt einfach den jeweiligen x-Wert (aus der zweiten, ggf. dritten Ableitung) in f(x) ein und rechnet dann.

Richtig, oder komplett falsch? ^^

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04.01.2005, 14:58

klarsoweit

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ziemlich falsch das ganze. Bleiben wir mal bei Extremwerten. Für die Existenz von Extremwerten muß eine Funktion nicht unbedingt differenzierbar sein. Aber es hilft ungemein. Für das Vorliegen einen Extremwerts an der Stelle xe muß dann notwendig gelten: f'(xe) = 0
Ob da tatsächlich ein Extremwert ist, stellt man mit der 2. Ableitung fest:
Ist f''(xe) > 0 dann ist es ein Minimum.
Ist f''(xe) < 0 dann ist es ein Maximum.
Nimm jetzt mal deine Funktion und suche die Extremwerte.
Was ist als erstes zu tun?

04.01.2005, 15:23

Gast.

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Die Werte für xe raussuchen, mit denen f(xe)=0 ergibt, oder wie?

04.01.2005, 16:09

klarsoweit

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fast richtig. Mit f(x) = 0 bzw. f(xe) = 0 erhältst du die Nullstellen der Funktion f. Du brauchst aber die Nullstellen der 1. Ableitung, also von f'.

04.01.2005, 16:29

Gast.

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Also dann per Ausklammern?

f'(x)=3/2x^2-8x+8

f'(x)=0

3/2x^2-8x+8 = 0

x(3/2x)= 0

Also Nullstelle der Ableitung bei 1.5, richtig so?

04.01.2005, 16:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gast.
x(3/2x)= 0

hoppla! wie kommst du auf diesen Ausdruck? verwirrt

verwirrt

Nullstellen einer quadratischen Gleichung bestimmen müsste doch gehen, oder?

04.01.2005, 16:47

Gast.

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Öhhh, also nicht richtig? ^^

Na ansonsten halt Quadratische Gleichungen mit der p-q-Formel, bzw. der Mitternachtsformel.. dann habe ich L = { 7,3 ; 4,7 } und wenn man das in f'(x) einsetzt kommt alles raus, aber ganz bestimmt nicht Null smile

smile

Entweder bin ich verblödet, oder 1.5 ist richtig Oo

Öhh ne, doch nicht, mir ist gerade eingefallen, ich habe ja einen tollen Delphi-Rechner geschrieben, mit dem ich auch Quadr. Funktionen ausrechnen kann, bei der Diskriminante kommt ganz sicher 1,33333333333333 raus, aber beim ersteren kommt 4 hin, also ist die Lösungsmenge: L = {5,33333333333333 ; 2,66666666666667 } Oo

04.01.2005, 16:51

klarsoweit

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ich habe andere Nullstellen raus. Zeig mal deinen Lösungsweg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.01.2005, 16:56

Gast.

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Was soll ich als Lösungsweg hinschreiben? Hab halt die Werte in die Formel eingefügt und dann per Rechner ausgerechnet :/

04.01.2005, 17:05

klarsoweit

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kommt darauf an, was man für Werte einsetzt. Erstmal forme ich die quadratische Gleichung so um, dass man die einschlägigen Formeln anwenden darf. Also: x² - (16/3) * x + 16/3 = 0
Was ist dann p bzw. q?

PS: Für heute ist Feierabend. Morgen geht es dann weiter mit den Wendepunkten.

04.01.2005, 17:55

Gast.

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Jo, Feierabend ist gut :>

Dann wollen wir mal:

Bei ist es immer noch nicht gleich Null ..

x1=16/3 und x2=8/3 - hab ich ihm Kopf alles in Ruhe ausgerechnet.. :/ kann ja aber wieder nicht stimmen -_-

Nuja, danke trotzdem für deine Hilfe heute !

04.01.2005, 18:35

klarsoweit

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also rechnen wir mal:
$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \frac{8}{3} \pm \sqrt{(\frac{8}{3})^2 - \frac{16}{3}} \end{eqnarray*}$
das ergibt:
$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \frac{8}{3} \pm \sqrt{\frac{64}{9} - \frac{48}{9}} \end{eqnarray*}$
oder:
$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \frac{8}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9}} \end{eqnarray*}$
jetzt bist du wieder dran.

04.01.2005, 21:58

Gast.

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Na ok.. das schaffe ich noch Augenzwinkern

Augenzwinkern

, dachte es ist Feierabend? ^^

$\begin{eqnarray*} x1=4 u x2=4/3 \end{eqnarray*}$

Jetzt dann gucken, ob es auch wirklich Extremwerte sind, also f''(xe) != 0, wenn = 0 ist es ein Wendepunkt, so viel habe ich mitbekommen ^^.

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 3x-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(4) = 3*4-8 = 4 \end{eqnarray*}$ Minimum
$\begin{eqnarray*} f''(4/3) = 3*4/3-8 = -4 \end{eqnarray*}$ Maximum

Beide Werte sind ungleich Null, also sollten es doch Extrempunkte sein, oder?
Ich rechne dann mal schnell noch die dazugehörigen y-Werte aus.. hoffentlich mache ich nichts falsch xD.

$\begin{eqnarray*} f(4) = 1/2*4^3-4*4^2+8*4 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(4/3) = 1/2*4/3^3-4*4/3^2+8*4/3 = 4,6 \end{eqnarray*}$ <-- gerundet :/

Also das Minimum befindet sich bei $\begin{eqnarray*} (4 ; 0) \end{eqnarray*}$ und das Maximum bei $\begin{eqnarray*} (-4 ; 4,6) \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt richtig?

05.01.2005, 09:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gast.
Also das Minimum befindet sich bei $\begin{eqnarray*} (4 ; 0) \end{eqnarray*}$ und das Maximum bei $\begin{eqnarray*} (-4 ; 4,6) \end{eqnarray*}$

wir waren uns doch einig, dass das Maximum bei 4/3 liegt. Für f(4/3) erhalte ich 4,74 (gerundet). Also ist das Maximum bei (4/3; 4,74).

Zitat:

Original von Gast.
Jetzt dann gucken, ob es auch wirklich Extremwerte sind, also f''(xe) != 0, wenn = 0 ist es ein Wendepunkt, so viel habe ich mitbekommen ^^.

Das mit dem Wendepunkt ist wieder nur etwas richtig. Wenn f''(xe) = 0 ist, könnte dort ein Wendepunkt sein. Obendrein kommen auch andere Stellen als Wendepunkt in Frage, nämlich alle Stellen xw mit f''(xw) = 0. Dies ist die notwendige Bedingung. Für das Vorliegen eines Wendepunktes reicht das aber nicht. Eine hinreichende Bedingung ist f'''(xw) != 0. Ist f'''(xw) > 0 spricht man von einem rechts-links-Wendepunkt, ist f'''(xw) < 0 spricht man von einem links-rechts-Wendepunkt. Bildlich gesprochen ist ein Wendepunkt da, wo die Steigung der Funktion (= 1. Ableitung) ein Maximum oder Minimum erreicht. Daher ergeben sich die Bedingungen für Wendepunkte aus den Bedingungen für lokale Extrema, nur eben angewendet auf die 1. Ableitung.

05.01.2005, 13:07

Gast.

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Okay, vielen Dank! Eigentlich meinte ich auch $\begin{eqnarray*} (4/3 ; 4,6) \end{eqnarray*}$ war wohl eher ein Flüchtigkeitsfehler von mir, sorry Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das mit dem Rechts-Links- und Links-Rechts-Wendepunkten wusste ich noch gar nicht, hat unser Lehrer noch nie erwähnt, danke :> Das ist wohl dann beim Zeichnen hilfreich.

Ich werd mich dann mal an den Wendepunkten versuchen.

Wendepunkt:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 3x-8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-8=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xw=8/3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> f'''(x) = 3 \end{eqnarray*}$ f'''(xw) != 0 ist gesichert, also ein Wendepunkt, oder?

y-Ordinate

$\begin{eqnarray*} f(8/3) = 2,4 \end{eqnarray*}$ (gerundet)

Wendepunkt liegt also bei $\begin{eqnarray*} WP(8/3 ; 2,4) \end{eqnarray*}$

Denke das ist richtig so.

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