differenzierbar

03.01.2005, 13:45	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
differenzierbar hallo zusammen, also ich habe eine frage zu differenzierbarkeit.... eine funktion heisst doch differenzierbar wenn es an jeder stelle x eine ableitung gibt oder? also wenn die aufgabe von mir verlangt differenzieren sie die folgenden funktionen an den stellen wo diese differenzierbar sind... muss ich diese doch einfach nur ableiten oder? mfg matze
03.01.2005, 13:49	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
zunächst mal solltest du überprüfen, wo diese funktionen (nicht) differentierbar sind... dafür würde ich mir erst überlegen, welche punkte kritisch sind und dann die nötigen kriterien anwenden, um dort nachzuprüfen. z.b. die betragsfunktion f(x)=\|x\| ist an der stelle x=0 nicht differentierbar..... mfg jochen
03.01.2005, 14:09	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
na toll gerade die betrags funktion habe ich dabei x* \|x\|.... warum ist des an der stelle x=0 nicht differenzierbar? kann mir das nur so erklären die steigung müsst ja null sein... wenn ich das jetzt aber ableite kriege ich eins raus... aber wie beweise ich dsa mathematisch...
03.01.2005, 14:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Irrtum - LOED hat von \|x\| gesprochen, nicht von x*\|x\|, letztere ist nämlich auch an der Stelle x=0 differenzierbar!
03.01.2005, 14:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
x·\|x\| ist an der Stelle 0 differenzierbar!
03.01.2005, 14:15	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
links/rechtseitiger grenzwert des differenzenquotienten.... wenn die gleich sind und die funktion in dem punkt stetig ist, dann ist sie in dem punkt differentierbar. f(x)=\|x\| ist ja das gleiche wie f(x)=-x für x<0, f(x)=x für x>=0 bei 0 also: der linksseitige grenzwert des differenzenquotienten ist -1, der rechtsseitige +1... also unstetigkeit an der stelle 0. okay? mfg jochen
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03.01.2005, 14:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe auch hier
03.01.2005, 18:10	matze2002	Auf diesen Beitrag antworten »
ok das lustige frage spielchen geht dann weiter ist den auch die verknüpfung zweier differenzierbarer funktionen differenzierbar? und wie das mit arctan? ... gibts dazu ne ableitung? muss man da nur den tan ableiten?
03.01.2005, 21:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Komposition zweier differenzierbarer Funktionen ist auch differenzierbar und es gilt die Kettenregel: $\begin{eqnarray} h(x)=g(f(x))\ \ \Rightarrow \ h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x) \end{eqnarray}$ Ja, natürlich besitzt der arctan eine Ableitung. Denn er ist die Umkehrfunktion des tan, also $\begin{eqnarray} f(x)=\tan(x)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ f^{-1}(x)=\arctan(x) \end{eqnarray}$ Und es gilt der folgende Satz: Ist $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ eine umkehrbare differenzierbare Funktion mit der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f^{-1}(x) \end{eqnarray}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray} f^{-1}(x) \end{eqnarray}$ differenzierbar und besitzt die Ableitung $\begin{eqnarray} (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{eqnarray}$ Kannst ja damit mal versuchen, selbst die Ableitung von arctan zu bilden.

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