Vektorraum der Dimension

03.01.2005, 15:26

Assal

Vektorraum der Dimension

Hallo liebe Leute!

Erstmal: ein gutes neues Jahr 2005 und auf dass all eure Wünsche in Erfüllung gehen mögen!
Anbei der erste Wunsch / die erste Bitte von mir: kann mir jemand ein Tipp zu der Aufgabe geben?

Sei V ein Vektorraum der Dimension 5 und seien U,W verschiedene
Unterräume von V , die beide die Dimension 4 haben.

(a) Ermitteln Sie die Dimension des Durchschnitts von U und W.

(b) Geben Sie ein Beispiel an für Räume V, U, W der obigen Art.

DANKE

03.01.2005, 15:55

JochenX

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da U und V verschieden sind gilt dim(U+W)>dim U=dim W
also muss für dim U+W was gelten?!
und dann wendest du den dimensionssatz an.....

zu b) du sollst beliebige vektorräume angeben?! dann nimm einfach den Standardraum R^5 und überlege dir geeignete U und W.

na, kommst weiter?

mfg jochen

03.01.2005, 19:04

merlin25

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Ich habe den Gleichen Aufgabenzettel wie Assal und würde mich daher auch sehr über Hilfe freuen.

zu a) Mir ist klar das wenn U und W verschiedene Unterräume sind gilt $\begin{eqnarray*} dim(U \cap W)<4 \end{eqnarray*}$ daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} dim(U+W)>4 \end{eqnarray*}$ .

Der Dimensionssatz lautet doch so oder:
$\begin{eqnarray*} dim(U \cap W)+dim(U+W)=dim(U)+dim(W) \end{eqnarray*}$

Die Lösung kann nur 3, 2, 1 oder 0 sein.

Aber wie komme ich da jetzt weiter?

Mir fällt gerade noch ein, dass die Dimension von U+W ja nur 5 sein kann oder (da V die Dimension 5 hat und dim(U+W)>4). Daraus würde sich dann mit dem Dimensionsatz für $\begin{eqnarray*} dim(U \cap W)=3 \end{eqnarray*}$ ergeben.

Gruß
Merlin

03.01.2005, 22:03

JochenX

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exakt

das ist dann auch die lösung, denn wenn du eine Menge von Unterräumen eines Vektorraums V hast und diese "addierst", dann kannst du maximal den Vektorraum V bekommen.
also muss dim(U+V)=5 gelten und damit... naja, das steht ja oben.

04.01.2005, 11:09

merlin25

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wie geht man denn jetzt bei b) vor? Da wäre eine kleine Starthilfe gut.

04.01.2005, 12:14

JochenX

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Zitat:

Sei V ein Vektorraum der Dimension 5 und seien U,W verschiedene Unterräume von V , die beide die Dimension 4 haben.

also dafür sollt ihr ein beispiel angeben?!
dann wählt erst mal einen 5dimensionalen Vektorraum (grundkörper sei IK) . dieser ist sowieso isomorph zu IK^5 (bekannt? ich sage nur: Basisdarstellung), also nehme man gleich IK^5. der einfachheit halber sei IK der Körper der reellen Zahlen. dann ist ein gutes beispiel für V schon mal einfach IR^5.
wie sieht denn z.b. ein 4 dimensionaler UVR aus? ihr könnt z.b. eine einfache basis angeben (spielt doch einfach mal mit der standardbasis des IR^5 rum....).
na, jetzt?!

mfg jochen

04.01.2005, 18:10

merlin25

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Also den Begriff Standardbasis habe ich leider noch nicht gehört. Die kanonische Basis kenne ich aber. Also die kanonische Basis in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_2=(0,1,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_3=(0,0,1,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_4=(0,0,0,1,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_5=(0,0,0,0,1) \end{eqnarray*}$

Das ist also eine Basis oder?

Zwei verschiedene Untervektorräume mit der Dimension 4 (Anzahl der Basisvektoren also 4) wären dann:

$\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_2=(0,1,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_3=(0,0,1,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_4=(0,0,0,1,0) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_2=(0,1,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_3=(0,0,1,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_4=(0,0,0,0,1) \end{eqnarray*}$

oder?

06.01.2005, 17:24

lalala

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Ist das was merlin25 da geschrieben hat richtig?
Habe die gleiche Aufgabe und bin mir bei (b) nicht sicher ob das so stimmt. Kann mich aber auch täuschen.

verwirrt

06.01.2005, 17:29

JochenX

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@merlin: kanonische basis, standardbasis alles namen für das gleiche, genau das habe ich gemeint.
deine idee ist richtig, aber deine ausdrucksweise nicht!

Zitat:

Original von merlin25
Also den Begriff Standardbasis habe ich leider noch nicht gehört. Die kanonische Basis kenne ich aber. Also die kanonische Basis in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_2=(0,1,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_3=(0,0,1,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_4=(0,0,0,1,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_5=(0,0,0,0,1) \end{eqnarray*}$

nein, das sind nur 5 vektoren, die in keinerlei erkennbaren zusammenhang stehen. zu einer basis werden sie wie folgt.
basis={e1,e2,e3,e4,e5}
also eine basis ist eine menge von vektoren!

Zitat:

Zwei verschiedene Untervektorräume mit der Dimension 4 (Anzahl der Basisvektoren also 4) wären dann:

$\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_2=(0,1,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_3=(0,0,1,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_4=(0,0,0,1,0) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} e_1=(1,0,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_2=(0,1,0,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_3=(0,0,1,0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_4=(0,0,0,0,1) \end{eqnarray*}$

oder?

nö, also das sind keine basen (s.o.) und erst recht keine vektorräume!
hier muss es korrekt <e1,e2,e3,e4> (oder [......] ) heißen.
dein gesuchter vektorraum ist das erzeugnis dieser vektoren!

aber ansonsten isses prinzipiell richtig gedacht.

mfg jochen

06.01.2005, 17:39

merlin25

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Danke lalala das Du es noch einmal aufgegriffen hast und VIELEN DANK an LOED.

Tanzen

06.01.2005, 17:40

JochenX

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ja, das muss irgendwie zwischen den vielen anderen neuen beiträgen verloren gegangen sein.
sonst hätte ich da schon früher drauf geantwortet.

ich danke dir, dass du nicht versucht hast, das selbst mit einem pushpost nach oben zu puschen!
es gibt eben scheinbar noch geduldige menschen!

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