Rekursion der Binomialkoeffizienten [Beweis -> HILFE]

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Studentin Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursion der Binomialkoeffizienten [Beweis -> HILFE]
Hallo!
Nachdem ich nun weiß, wie ich das Pascalsche Dreieck rekursiv definiere, soll ich zeigen, dass das dasselbe ist, als wenn ich es über Binomialkoeffizienten definiere. Ich weiß aber leider nicht wie und hoffe, mir kann jemand helfen (am besten mit vollständiger Induktion).
Also:
, für , für , wobei i für die Zeilennummer und j für die Spaltennummer steht

und



sollen identisch sein...

Danke schonmal im Voraus!

EDIT: Ruhig das Thema mal im Titel nennen Augenzwinkern
Divergenz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rekursion der Binomialkoeffizienten [Beweis -> HILFE]
Hallo,

um zu zeigen, dass die Binomialkoeffizienten das Pascalsche Dreieck erzeugen, würde ich zunächst zeigen, dass am Rand nur Einsen stehen, also
für jedes
Das kann man leicht durch Einsetzen nachrechnen. (Dies bildet sozusagen deine Induktionsanfänge) Danach würde ich ganz allgemein die Summeneigenschaft des P.Dreiecks nachrechnen, also
für alle mit
Das ist auch nicht gerade schwer und wurde auch schon hier im Board behandelt. (Das ist dann gewissermaßen dein Induktionsschritt, da du dich von Zeile zu Zeile weiterhangelst.)
Studentin Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort! Ich werde dann mal mit dem Beweis anfangen. Aber dann bin ich ja noch nicht fertig. Ich will ja zeigen, dass das dasselbe ist. Wie geht denn das?

Außerdem hab ich in meiner rekursiven Definition zwei Fehler gefunden. Also hier nochmal die verbesserte Version:

Studentin Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt habe ich bewiesen, dass die Aussage für die Binomialkoeffizienten richtig ist, aber wie mache ich jetzt weiter? Ich will ja zeigen, dass das mit der rekursiven Definition übereinstimmt!!!
HILFE!!! Ich verzweifle noch!
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja jetzt die dritte Zeile von
gezeigt (ist dir klar, dass du das gezeigt hast? Augenzwinkern ).

Jetzt musst du nur noch zeigen, dass die Binomialkoeffizienten den ersten beiden Zeilen genügen, dann bist du fertig.

Gruß vom Ben
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