Integration durch Substitution

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04.01.2005, 10:17	mx22	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution Hallo, hab eine Frage zu folgendem Bsp: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{x}{1-x²} ~dx \end{eqnarray}$ jetzt substituiere ich: Z=1-x² Z'=-2x weiters: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{x}{Z} \frac{1}{-2x}~dz \end{eqnarray}$ und nun bin ich mir nicht mehr sicher. kann ich das "x" wegkürzen, sodass $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{Z} * \frac{1}{-2}~dz \end{eqnarray}$ da steht? weiters müsste dann das doch $\begin{eqnarray} \frac{-1}{2} \int_{}^{}~ Z^{-1} ~dz \end{eqnarray*}$ sein, oder nicht? bitte korregiert mich, wenn ich falsch liege. ich bin mir nicht sicher, ob es soweit passt!
04.01.2005, 10:23	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution alles richtig
04.01.2005, 12:35	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo is richtig, ich wuerde aber $\begin{eqnarray} \frac{-1}{2}\int_{}^{}~\frac{1}{z} dz \end{eqnarray*}$ stehen lassen. Da sieht man die Stammfunktion besser.
04.01.2005, 12:36	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
und so sieht es wunderschön aus ( ) $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2}\int\frac{1}{z}\mbox dz \end{eqnarray}$
04.01.2005, 12:40	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
oder ohne substitution (läuft aber auf die gleiche erkenntnis raus, aber du ersparst dir manchmal schreibarbeit): $\begin{eqnarray} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}~dx = ln(f(x)) \end{eqnarray}$ zumindest wenn f lineare funktion ist. du kannst einfach -1/2 vorziehen und hast dann genau so etwas dastehen. mfg jochen
04.01.2005, 12:51	mx22	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für eure posts! @jochen: genau das mit dem ln steht nämlich auch in der Lösung. Aber ich nehm an immer ist das nicht anwendbar, oder? wie weiß ich das dann in der Praxis?
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04.01.2005, 12:56	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese spezielle Substitutionsregel (Logarithmisches Integrieren) $\begin{eqnarray} \int\frac{f'(x)}{f(x)}~\mbox dx = \ln\|f(x)\| + C \end{eqnarray}$ kannst du nur anweden, wenn (wie die Regel schon) sagt, im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Willst du vielleicht noch ein paar Beispiele??
04.01.2005, 12:57	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
berechne mal die Ableitung von ln(f(x)) Dann siehste das es Prinzipiell sogar immer anwendbar ist, solange f(x) nicht verschwindet, bzw. in einem Interval betrachtet wird wo sie nicht verschwindet. f(x) muss natuerlich diff'bar sein!
04.01.2005, 13:15	mx22	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, aber wo sehe ich bei dem von mir angeführten Beispiel, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist?
04.01.2005, 13:19	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
nachrechnen.... nenner in gedanken ableiten (ist ja ganz einfach) und vergleichen.... dann siehst du da fehlt nur noch der faktor 2 im zähler. und konstante faktoren sind ja kein problem..... mfg jochen
04.01.2005, 13:27	mx22	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich den nenner ableite kommt ja "-2x" heraus. und wie soll das jetzt mit dem "x" im Zähler vergleichbar sein?
04.01.2005, 13:34	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
wie LOED schon sagte, der Unterschied ist der konstante Faktor -2. Und Konstanten machen beim Integrieren kein Problem. Man zieht sie einfach davor. Ggf. natürlich den Kehrwert, damit insgesamt alles seine Richtigkeit hat.
04.01.2005, 16:10	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
noch alles tipp (falls du damit besser zurecht kommst) du kannst auch mit $\begin{eqnarray} \frac{-2}{-2} \end{eqnarray}$ in dem fall erweitern. dann "ziehst" du $\begin{eqnarray} -2 \end{eqnarray}$ ins integral und hast noch $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ davorstehen .

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