Konvergenz einer Reihe

04.05.2007, 11:48

mopar

Konvergenz einer Reihe

Hallo ich hab folgende Aufgabe bekommen:

Überprüfen Sie die Reihe auf Konvergenz $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{5 + (-1)^k }{7^{k+2}} \end{eqnarray*}$

Ich hab das jetzt mal so aufgeteilt das ich sage $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{5}{7^{k+2}} + \frac{(-1)^{k}}{7^{k+2}} \end{eqnarray*}$

Beim ersten hab ich dann mit Hilfe des Quotientenkriteriums folgendes raus : $\begin{eqnarray*} \frac{5}{7^{(k+1)+2}} * \frac{7^{k+2}}{5} \end{eqnarray*}$ dann habe ich munter gekürzt und komme darauf das das doch gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7} \end{eqnarray*}$ konvergieren muss.

Beim nächsten dem alternierenden Teil hab ich auch wieder das Quotientenkriterium angewendet und bekomme dann folgendes: $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k+1}}{7^{(k+1)+2}} * \frac{7^{k+2}}{(-1)^k} \end{eqnarray*}$ und hier bekomme ich dann nach dem kürzen $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{7} \end{eqnarray*}$ also konvergiert die Ganze Reihe doch gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder ??

Ich bin mir hier absolut nicht sicher ob das auch nur annähernd stimmt was ich da gemacht habe und vor allem mit der Konvergenz gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht.

Also stimmt das oder hab ich vollen Bockmist gebaut ??

04.05.2007, 12:00

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von mopar
... oder hab ich vollen Bockmist gebaut ??

Vermutlich ja.
Beim Quotientenkriterium kann nichts negatives rauskommen, da man von den jeweiligen Ausdrücken den Betrag nehmen muß.

Wenn du deine Reihe noch etwas umformst, hast du 2 simple geometrische Reihen und dann brauchst du auch nicht das Quotientenkriterium. Augenzwinkern

04.05.2007, 14:07

mopar

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Oh stimmt hab die Betragsstriche übersehen mist Forum Kloppe

04.05.2007, 16:45

system-agent

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von mopar

Beim nächsten dem alternierenden Teil hab ich auch wieder das Quotientenkriterium angewendet und bekomme dann folgendes: $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^{k+1}}{7^{(k+1)+2}} * \frac{7^{k+2}}{(-1)^k} \end{eqnarray*}$ und hier bekomme ich dann nach dem kürzen $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{7} \end{eqnarray*}$ also konvergiert die Ganze Reihe doch gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder ??

wenn du das quotientenkriterium
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$
untersuchst, dann sagt das nur über das konvergenzverhalten der reihe aus, aber nicht über den grenzwert der reihe....

05.05.2007, 14:25

mopar

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Vielen Dank erstmal für eure Hilfe

wenn ich dann bei beiden den Betrag beachte dann geht das aber schon mit dem Quotientenkriterium dann bekomme ich doch beides mal raus das es konvergiert dann konvergiert doch die ganze Reihe oder nicht?

05.05.2007, 14:40

klarsoweit

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Natürlich geht das mit dem Quotientenkriterium. Ist aber mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Und wenn du den Wert der Reihe bestimmen sollst, hilft dir das Quotientenkriterium auch nicht weiter. Augenzwinkern

05.05.2007, 15:05

mopar

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hm ich komm aber irgendwie durch umformen nicht auf die zwei simplen geometrischen Reihen Hilfe

ich wäre dankbar für einen Denkanstoß

05.05.2007, 15:16

kiste

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$\begin{eqnarray*} 7^{k+2} = 49\cdot 7^k \end{eqnarray*}$ , du darfst Konstanten rausziehen und $\begin{eqnarray*} \frac{a^k}{b^k} = (\frac{a}{b})^k \end{eqnarray*}$ sollte alles sein was du benötigst um es auf normale geometrische Reihen zurückzuführen

05.05.2007, 15:53

mopar

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Ok ich habs hinbekommen vielen Dank für die schnelle Hilfe und die Geduld

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Konvergenz einer Reihe

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