Sigma Algebra

04.05.2007, 12:54

Ambrosius

Sigma Algebra

Seien $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal{A} ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Y, \mathcal{N} ) \end{eqnarray*}$ zwei Messräume und $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung.

Dann ist die Menge $\begin{eqnarray*} D := \{ B \subseteq Y \mid f^{-1}(B) \in \mathcal{A} \} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra auf $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$

Der Beweis ist ja nicht schwer nur zum ersten Punkt habe ich eine Frage:

Ich muss ja zeigen das $\begin{eqnarray*} Y \in D \end{eqnarray*}$ ist, d.h. das $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y) \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$

Nun steht im Skript $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y) = X \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ . Aber muss das immer so sein? Kann es nicht ein f geben, so das das nicht erfüllt ist?

04.05.2007, 13:07

Ben Sisko

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RE: Sigma Algebra
Ich denke $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ zu betrachten, macht ja nur Sinn, wenn $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ surjektiv ist. Dann ist aber klar, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y) = X \end{eqnarray*}$ , oder? (nach Def. der Abbildung)

Gruß vom Ben

04.05.2007, 14:42

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Ich denke $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ zu betrachten, macht ja nur Sinn, wenn $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Nein, das ist nicht nötig. Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ erfordert nicht, dass alle Werte aus $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auch als Funktionswert angenommen werden!

Aus $\begin{eqnarray*} f:\;X\to Y \end{eqnarray*}$ folgt auch ohne Surjektivität $\begin{eqnarray*} f(X)\subseteq Y \end{eqnarray*}$ , und das wiederum bewirkt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y) \supseteq X \end{eqnarray*}$ . Nun, echt größer als $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann das Urbild nun auch wieder nicht werden, also...

04.05.2007, 23:16

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Nein, das ist nicht nötig. Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f^{-1}(Y) \end{eqnarray*}$ erfordert nicht, dass alle Werte aus $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auch als Funktionswert angenommen werden!

Ja, du hast natürlich Recht (wenn ich mir die Def. des Urbilds anschaue, wird's auch mir klar...).

Wie schaffst du es eigentlich genau die Posts, wo du nicht Recht hast, nicht abzuschicken?? Augenzwinkern