Koordiantengleichung einer Ebene aufstellen

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04.05.2007, 15:39	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordiantengleichung einer Ebene aufstellen Hey $\begin{eqnarray} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Ebene soll in die Koordiantenform gebracht werden. Seh schön ist, dass ich direkt 2 Gleichungen mit einer Unbekannten hab, also $\begin{eqnarray} x_1=2+3r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=2+2r+s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=4+9r \end{eqnarray}$ ________________________ $\begin{eqnarray} x_1=2+3r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=4+9r \end{eqnarray}$ ________________________ $\begin{eqnarray} x_3-2 x_1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2x_1+x_3=0 \end{eqnarray}$ Ist das jetzt einfach die Ebenengleichung??? Was genau bringt mir das ---=0? MfG Tina
04.05.2007, 15:48	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordiantengleichung einer Ebene aufstellen Meiner Meinung nach musst du die zweite Gleichung mal 3 nehmen Das ---=0 brauchst du, damit du eine GLEICHUNG hast. Ansonsten hättest du einen Term der Form ax1+bx2+cx3+d und ein Term hat keine Lösung. Jeder Punkt mit den Koordinaten (x1\|x2\|x3\|) der nun deine GLEICHUNG erfüllt, also eine Lösung der Gleichung ist, ist ein Punkt der Ebene. Oder verstehe ich dich da falsch Gruß MI
04.05.2007, 16:01	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment... Worauf beziehst du das *3? Ich muss doch erst in 2 Gleichungen eine Varaibale wegfallen lassen, oder nicht? Dann wär das doch logisch die 1. und 3. zu verwenden. Dass das eine Gleichung ist, wenn da ein = steht ist mir eigentlich schon klar... Bedeutet das, dass, wenn es in der austaucht, Gleichung, die ich errechnet habe, kein x_2, dass die ebene zur ebene, die durch vektor(0/1/0) und vektor (0/0/1) aufgespannt wird, parallel ist?
04.05.2007, 16:11	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordiantengleichung einer Ebene aufstellen $\begin{eqnarray} x_1=2+3r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=4+9r \end{eqnarray}$ Ja, aber um HIER das 3 zu eliminieren musst du mal -3 nehmen, nicht -2, denn -23=6 und nicht 9 - oder ist da ein Abschreibfehler? Das Fehlen der Variablen x2 bedeuted, dass die Ebene parallel zur x2-Achse ist (nicht schneidet oder sie enthält). Eine Parallelität zu einer anderen Ebene dürfte aber nicht auftreten. Warum ist das so? Nun, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind ja die Spurpunkte. Um diese zu errechnen müsste man ja die beiden anderen Koordinaten gleich 0 setzen und schauen, wann die Gleichung erfüllt ist (der Spurpunkt mit der x1-Achse hat ja die Koordinaten (x1\|0\|0)). Wenn kein x2 vorhanden ist, dann hast du entweder eine allgemeingültige Gleichung oder eine Gleichung ohne Lösung. Versuche mal von dieser Ebene den Normalenvektor zu bestimmen; du solltest logischerweise eine 0 in der zweiten Koordinate erhalten! Ach ja: Die Zahl ohne Variable (meist hinter das Gleichheitszeichen geschrieben) kann unter bestimmten Umständen den Abstand zum Koordinatenursprung zeigen (dafür musst du aber die Hessesche Normalenform kennen). Ist sie 0, heißt das auf jeden Fall, dass die Ebene den Ursprung schneidet. Gruß MI
04.05.2007, 16:16	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Respekt... Nein, soweit sind wir noch nicht, haben erst letzte Stunde mit der Koordinatengleichungen begonnen... Demnach müsste die ebene dann $\begin{eqnarray} E:-3x_1+x_3=-2 \end{eqnarray}$ und parallel zur x_2 achse.... gut, vielen dank
04.05.2007, 16:22	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so müsste es stimmen. Wie gesagt, die Parallelität kann man ganz einfach überprüfen indem man schaut, ob die entsprechende(n) Koordinate(n) des Normalenvektors 0 sind (was ja hieße, dass dieser senkrecht auf der Achse steht und, weil erauch senkrecht auf der Ebene steht, sind die Ebenen echt parallel). Sich zu überlegen, wie die Spurpunkte einer Ebene liegen, ist außerdem eine sehr interessante Sache. Haben wir erst kurz vor der Abiklausur gelernt und das kann hin und wieder mal sehr nützlich sein! Gruß MI
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04.05.2007, 16:46	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima, danke Allerdings sind unsere beiden Kurse noch nicht soweit, wie manch andere, wenn man das hier im forum so liest.... Diese Parallelität mussten wir, wie ich kurz darauf bemerkte, in einer anderen AUfgabe nachweisen, sodass das jetzt klar ist. Habe auch nur noch eine kleine Frage: Gesucht ist die Koordinatengleichung der x2x3 Ebene. Dazu hab ich mir einfach 3 punkte genommen A(0/1/1) B(0/2/2) C(0/3/3) und habe dann später im dem LGS 2 identische Gleichungen für x2 und x3 und für x1=0 habe ich damit schon bewiesen, dass die koordinatengleichung für die x2x3 ebene x1=0 sein muss, denn x2 und x3 fallen ja weg..... MfG
04.05.2007, 17:34	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht habt ihr was anderes zuerst gemacht? Kann ja sein... Ich mache ja gerade Abi, von daher ist's klar, dass ich das schon hatte, aber mein Bruder aus der 12 hatte das auch schon, von daher... Zu deiner Frage: Deine Rechnung ist soweit nachvollziehbar und ja, dein Beweis ist damit fertig. Wenn man die Überlegung der Parallelität heran zieht (da die Achsen x2 und x3 in dieser Ebene enthalten sind, sind sie ja auch parallel zu dieser Ebene) kann man dies auch ganz einfach zeigen. Für die Koordinatengleichung heißt das ja, dass die jeweiligen Koordinaten fehlen. Natürlich muss die Ebene den Nullpunkt enthalten, das heißt, dass kein Summand auftritt, der keine Variable enthält (also ---=0), was deine Ergebnisse ja bestätigen. Also enthält die Koordinatengleichung nur die Variable x1 und keinen anderen Summanden. Also hat sie die Form ax1=0 (wobei a irgendwas sein kann - ist ja mathematisch egal. Im gekürzten Fall wäre das dann 1). Gruß MI
04.05.2007, 19:09	Chris1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Koordinatengleichung ist richtig, aber ich finde den Weg besser und bei mir geht er schneller erst über die Normalenform zu gehen... ist aber geschmackssache! Also ich meine: $\begin{eqnarray} E: & \vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\2 \\ 4 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Normalemvektor ist also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} E: -3x_1+x_3=-2 \end{eqnarray}$
05.05.2007, 09:59	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Völlig richtig. Über die Normalenform und mit Hilfe des Kreuzproduktes ist's schneller, aber wenn Dorika die HNF noch nicht kennt, wird sie wahrscheinlich auch die Normalenform noch nicht kennen, daher muss man so lange den Weg über das LGS gehen. Und das Kreuzprodukt... Bei uns ist's verpöhnt, "zu schwierig" hieß es immer (also habe ich es wenn immer es möglich war benutzt ) und wenn man den Normalenvektor mit Skalarprodukten ausrechnet, dann ist es schon nicht mehr ganz so schnell. Gruß MI
05.05.2007, 16:20	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, prima, danke.... Das liegt wohl daran, dass wir knapp 30 leute im LK sind und das demnach relativ lange dauert. Analysis haben wir soweit schon durch, halt alle Funktionstypen, in der Geometrie haben wir Lagebeziehungen von 2 Geraden, Gerade und Ebene und neuerdings Ebene und Ebene... klingt wenig, reich aber immer um schöne Klausuren gestellt zu bekommen... Auch möglich, dass ich irgendwas vergessen hab... tina

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