Binomialkoeffizient

04.05.2007, 20:36

telefonmann

Binomialkoeffizient

Hallo,

kann mir jemand erklären wie

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =\frac{n!}{k! (n-k)! } \end{eqnarray*}$

zustande kommt?

Gruß

telefonmann

04.05.2007, 20:51

kiste

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Von was ausgehend zustande kommt?
So wie es da steht ist das nur eine Definition

04.05.2007, 20:52

Lazarus

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Zitat aus Wikipedia:

Zitat:

Anschaulich lässt sich das so erklären: Man berechne mit n! alle möglichen Vertauschungen, suche sich k „Felder“ aus (6 z.B. beim Lotto) und frage sich, wie viele Möglichkeiten es gibt, diese Felder zu besetzen. Da es keine Rolle spielt, welches „Ereignis“ sich auf welchem Feld erreignet hat, dividiert man alle unter diesen k Elementen möglichen Vertauschungen mit k! heraus. Da es auch keine Rolle spielt, wie die Anordnung auf den uninteressanten Feldern aussieht, dividiert man mit (n − k)! auch diese Vertauschungen heraus.

Wollen Sie mehr wissen ?

04.05.2007, 21:38

telefonmann

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@lazarus: ja

habs per icq versucht. hast du meine einladung bekommen?

04.05.2007, 21:48

Lazarus

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Probiers doch hier!

Was ist denn noch Unklar daran ?

04.05.2007, 21:56

telefonmann

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der beitrag bei wikipedia hat unter Definition ausformuliert:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n}{1} \cdot \frac{n-1}{2} \cdot ...\cdot \frac{n-k+1}{k} \end{eqnarray*}$

Das ist doch im Grunde auch nur eine andere Formulierung, oder?

Wie kann ich die, im Bezug auf einen Zufallsversuch, erläutern?
Bin immer noch an den Herleitungen für Binomialverteilung und Hypergeometrische

Da war ein ! zuviel!

04.05.2007, 22:04

Menelaos

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Vielleicht kennst du das Lottospiel "6 aus 49". Wie der Name verrät, werden in diesem Spiel 6 Kugeln aus 49 gezogen und zwar "ohne Zurücklegen" im kombinatorischen Sinne, d.h. mit jeder Ziehung gibt es weniger Möglichkeiten. Außerdem spielt die Reihenfolge für das Ergebnis keine Rolle, d.h. die Ziehung $\begin{eqnarray*} (27, 34, 2, 6, 21, 44) \end{eqnarray*}$ ist identisch zu $\begin{eqnarray*} (21, 44, 5, 34, 2, 27) \end{eqnarray*}$ .

Wir stellen uns also eine Urne mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Kugeln vor, aus denen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gezogen werden.

Überlegen wir also der Reihe nach: für die erste Ziehung gibt es noch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, für die zweite nur noch $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ , für die dritte $\begin{eqnarray*} (n-2) \end{eqnarray*}$ usw. Die Formel lautet zunächst also:

$\begin{eqnarray*} n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1)=\prod_{i=0}^{k-1}~(n-i) \end{eqnarray*}$

Um diese etwas unhandliche Formel zu vereinfachen, macht man anschließend folgenden Trick: man ergänzt die fehlenden Faktoren bis 1 und erhält so $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ . Die "überflüssig" hinzugefügten Faktoren kürzt man wieder raus, es ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=n-k+1}^{n}~i=\frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Nun beschreibt diese Formel im Urnenmodell zwar die Wahrscheinlichkeit ohne das Zurücklegen, jedoch ist hier die Reihenfolge der Ergebnisse noch von Belang. Aus einem Ergebnis bestehend aus $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Zahlen gibt es noch $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ mögliche Permutationen. Um diese Möglichkeiten zusätzlich zu implementieren, dividieren wir obige Formel einfach durch $\begin{eqnarray*} k! \end{eqnarray*}$ und erhalten schließlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \end{eqnarray*}$

was wir als Binomialkoeffizienten "n über k" definieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =\frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \end{eqnarray*}$

Anschaulich gesprochen beschreibt der Binomialkoeffizient die Möglichkeiten, $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Elemente aus einer Menge von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elementen auszuwählen (mit $\begin{eqnarray*} k \leq n \end{eqnarray*}$ ). Um auf das Lottospiel zurückzukommen: wir suchen also die Anzahl der Möglichkeiten aus einer Menge mit $\begin{eqnarray*} 49 \end{eqnarray*}$ Elementen ohne Zurücklegen $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ beliebige Elemente auszuwählen, bei denen die entsprechende Reihenfolge keine Rolle spielt.

Beim Lotto gibt es schließlich exakt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix} =\frac{49!}{43! \cdot 6!}=13983816 \end{eqnarray*}$

Möglichkeiten.

04.05.2007, 22:07

telefonmann

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Wow

04.05.2007, 22:13

telefonmann

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Oh Mann,

ist es also nur eine Vereinbarung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!\cdot (n-k)! } \end{eqnarray*}$ zu schreiben?!

Danke

04.05.2007, 22:20

Lazarus

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eine Definition, ja.
Ist halzt einfach kürzer und daher praktischer

04.05.2007, 22:25

telefonmann

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ja. kürzer, praktischer Hammer

29.07.2009, 16:18

bryan

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bei mir steht daraus ergibt sich

49*48*47*46*45*44

1*2*3*4*5*6

= 49*2*47*46*3*22

Wie kommt man dahin, bzw. welches ist die Regel oder den Schritt den man anwenden muss? Das finde ich nicht heraus.

Kann mir das jemand erklären?

29.07.2009, 16:23

BanachraumK_5

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durch kürzen des Bruchs kommst du dahin! Oder was meinst du??

29.07.2009, 16:25

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@bryan

Na kräftig kürzen, was denn sonst:

$\begin{eqnarray*} \frac{48}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} = 2 \end{eqnarray*}$

das erklärt die 2 neben der 49. Bleibt noch $\begin{eqnarray*} 5\cdot 6 = 5\cdot 3\cdot 2 \end{eqnarray*}$ im Nenner, was von den letzten beiden Faktoren im Zähler "weggehauen" wird:

$\begin{eqnarray*} \frac{45}{5\cdot 3} = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{44}{2} = 22 \end{eqnarray*}$ .

Darauf kann man im Hochschulforum aber auch allein kommen.

29.07.2009, 16:33

BanachraumK_5

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$\begin{eqnarray*} \binom {49}{6} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \cdot...\cdot44\cdot 43!}{43!6!} = ?? \end{eqnarray*}$

Schau dir mal an welche Fakultät sich wegkürzt...

29.07.2009, 16:46

bryan

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Zitat:

Darauf kann man im Hochschulforum aber auch allein kommen.

Ja recht herzlichen Dank [Zellerli: Beleidigung gelöscht], wenn ich alleine drauf gekommen wäre hätte ich dich nciht gefragt. ich war nicht in den Vorlesungen und im Schira steht zu diesem Schritt explizit nichts drin. Deshalb habe ich mich auch an Euch gewendet!

TROTZDESSEN vielen Dank für die Antwort, allerdings hätte mir die Form

(49/6) = 49!/6!(49!-6!) = 49!/6!*43! = (49*48*47*46*45*44)/(6*5*4*3*2*1)

auch gereicht.

Saludos

29.07.2009, 16:49

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Zitat:

Original von bryan
Ja recht herzlichen Dank du Lutscher

An deinen Umgangsformen musst du noch arbeiten, sonst brauchst du dich hier gar nicht mehr blicken lassen. So einen rotzerhaften Ton kannst du getrost stecken lassen.

Deine Frage war

Zitat:

Original von bryan

49*48*47*46*45*44

1*2*3*4*5*6

= 49*2*47*46*3*22

Wie kommt man dahin

Wenn du den letzten Teil bis zu 49*2*47*46*3*22 selbst konntest, dann frag nicht so blöd. Forum Kloppe

29.07.2009, 17:11

BanachraumK_5

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@Bryan:

Immerhin hat sich Arthur Dent die Zeit genommen um sich mit deiner Aufgabe zu beschäftigen! Und jetzt bezeichnest du ihn als Lutscher? Um einzusehen, dass das nicht fair ist muss man keine Gleichung aufstellen.

29.07.2009, 19:29

Zellerli

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Mal ganz langsam, Bryan.

Zunächst mal haben hier Beleidigungen keinen Platz. Ein sauberer Umgangston sollte jeder mitbringen, der Hilfe sucht. Vergleiche dazu unser Boardprinzip.

Und demjenigen, der dir bei deinem Problem geholfen hat auch noch so freche Phrasen zum Dank zu entgegnen, ist ja wohl unter jedem Niveau.

Du solltest dir überlegen, mit wem du es dir verscherzt. Niemand hilft gerne einem undankbaren und aggressiven User.

Solltest du nochmal ähnlich beleidigende Aussagen von dir geben, wird beim nächsten mal der gesamte Post gelöscht (so wie es mit deinem letzten absolut unsachlichen Beitrag geschehen ist).

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