Riccatische Dgl - wo ist der Fehler?

04.05.2007, 22:44

Lurch

Riccatische Dgl - wo ist der Fehler?

Hi,

ich habe folgende Dgl zu lösen:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{y^2}{x^3} - \frac{y}{x^2} +1 \end{eqnarray*}$

Das ist eine Riccatische Dgl, zu der wir aufgeschrieben haben (zusammengefaßt):

Zitat:

y ist dann eine Lösung, wenn $\begin{eqnarray*} z:= \frac{1}{y-y_p} \end{eqnarray*}$ eine Lösung von $\begin{eqnarray*} z' = (2fy_p + g)z + f \end{eqnarray*}$ ist.

Hier natürlich: $\begin{eqnarray*} y_p = x \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun einsetze erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} z' = \frac{1}{x^2} z + \frac{1}{x^3} \end{eqnarray*}$

Als Lösung dieser inhomog. Dgl erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} z(x) = -\frac{1}{x} + 1 + c e^{-\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Aber z.B. hier steht die selbe Aufgabe, die bekommen aber andere Vorzeichen heraus. Wo liegt denn mein Fehler?

Ich müßte ja beim Einsetzen etwas falsch gemacht haben weil die einzelnen Rechnungen stimmen - aber was soll man da verkehrt machen? Es ist ja:
$\begin{eqnarray*} f=\frac{1}{x^3}, g=-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand helfen?

05.05.2007, 06:54

Leopold

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$\begin{eqnarray*} y' = \frac{y^2}{x^3} - \frac{y}{x^2} + 1 \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} y = u + x \, , \ y' = u' + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{(u+x)^2}{x^3} - \frac{u+x}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{u^2}{x^3} + \frac{u}{x^2} \end{eqnarray*}$

Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{u^2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} - \frac{u'}{u^2} = - \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{u} \, , \ z' = - \frac{u'}{u^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' = - \frac{1}{x^3} - \frac{z}{x^2} \end{eqnarray*}$

Ich komme also auch auf andere Vorzeichen.

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