Ganzrationale Funktionen

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04.01.2005, 18:04	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganzrationale Funktionen Bitte hilft mir bei dieser Aufgabe: Bestimme eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph durch folgende Punkte verläuft: P1 (-1;0) , P2 (0;1) , P3 (1;2) , P4 (2;6) ! als lösung muss 0,5x³+0,5x+1 rauskommen vielen dank schonmal
04.01.2005, 22:22	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 4 Punkten kannst du den Ansatz machen $\begin{eqnarray} y=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d \end{eqnarray}$ Zu bestimmen sind die 4 Unbekannten a,b,c,d. Dazu setzt die Wertpaare für x und y der einzelnen Punkte Pi(x;y) in diese Gleichung ein, und bestimmst aus den 4 erhaltenen Gleichungen die a,b,c,d. Wenn die von dir genannte Lösung stimmt, sollte b=0 sein. Ganz wichtig ist die Probe am Schluss der Rechnung. EDIT: korrigiert
04.01.2005, 22:38	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
lösung ist 0,5x³+0,5x+1 aber ich hab probleme beim lösen
04.01.2005, 22:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie heißen denn deine Gleichungen für a,b,c,d?
04.01.2005, 22:56	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
P1 0= -a+b-c+d P2 1=d P3 2=a+b+c+d P4 6=8a+4b+2c+d
04.01.2005, 23:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und jetzt kannst du d aus der zweiten Gleichung in die drei übrigen einsetzen. Dann hast du noch 3 Gleichungen in den Unbekannten a,b,c.
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04.01.2005, 23:36	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann hab ich folgendes stehen wo ich nicht mehr weiter komme: 1. -a-c+1=0 2. a+c+1=2 3. 8a+2c+1=6
04.01.2005, 23:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo sind denn die ganzen b's geblieben?
04.01.2005, 23:43	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
weil b=0 ist wegen 1. + 2.
04.01.2005, 23:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Daß b=0 ist, weißt du doch erst im nachhinein. Du darfst nicht vom Ergebnis her denken. Das ist dir sicher nur zur Rechenkontrolle angegeben. Laß also das b ruhig einmal da stehen.
04.01.2005, 23:48	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann steht bei mir: 1. -a+b-c+1=0 2. a+b+c+1=2 3. 8a+4b+2c+1=6 da komm ich dann nicht mehr weiter
04.01.2005, 23:53	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt hast du noch 3 gleichungen mit 3 unbekannten! es gibt jetzt verschiedenen möglichkeiten sie zu lösen, kannst entweder additionsverfahren anwenden oder wenn du es ganz hübsch machen willst GAUß benutzen!
04.01.2005, 23:58	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
kannste mir mal das an dem beispiel vorrechnen?
05.01.2005, 00:02	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
ich gehe davon aus,daß deine gleichungen bis hierhin stimmen gell! additionsverfahren: wie ganz normales schriftliches addieren du addierst 1+2 dann fällt das a weg: -a+b+c+1=0 + a+b+c+1=2 -------------------- 2b+2c+2 = 2 das gleiche machst du auch mit der 3. gleichung
05.01.2005, 00:05	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
in der 1. gleichung steht vor dem "c" ein minus war nen fehler von mir
05.01.2005, 00:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor ihr weiterrechnet: Das Vorzeichen von c in der 1. Gleichung bei King_James ist falsch.
05.01.2005, 00:06	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
@ leopold danke , hab gerade auch bemerkt und king auch noch besser dann fällt das c mit raus!
05.01.2005, 00:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und damit bekommt er auch, was er vorhin schon wollte: b=0.
05.01.2005, 00:23	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
ok und wie rechne ich jetzt weiter? 1. -a-c+1=0 2. a+c+1=2 3. 8a+2c+1=6
05.01.2005, 00:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dir das Gaußverfahren nichts sagt, so kannst du es so machen: Löse die 1. Gleichung nach c auf: c = ... a ... b ... (#) Setze den a-b-Term für c in die 2. und 3. Gleichung ein. Dann hast du noch zwei Gleichungen, die nur noch a und b enthalten. Jetzt löst du hiervon eine z.B. nach b auf: b = ... a ... () Setze den a-Term für b in die letzte Gleichung ein. Jetzt hast du noch eine Gleichung, die nur noch das a enthält. Und die anderen bekommst du, indem du jetzt rückwärts bei () und (#) einsetzt. EDIT Ich sehe gerade, daß da kein b mehr vorkommt. Jetzt nimm zwei Gleichungen von den dreien und rechne aus ihnen a und c aus. Mache an der dritten Gleichung die Probe, ob es mit diesen a und c paßt.
05.01.2005, 00:31	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sieht ja sofort, dass die ersten beiden Gleichungen (1.,2.) äquivalent sind und das GLS sich somit auf 2. und 3. beschränkt.
05.01.2005, 00:33	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
c=1-a eingesetzt in 2. und 3.: 1. a+(1-a)+1=2 2. 8a+2(1-a)+1=6 stimmt das bis jetzt?
05.01.2005, 00:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Und 1. bringt die jetzt keine Information, außer was du immer schon wußtest: 2=2 Aber 2.
05.01.2005, 00:36	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
yep! nachdem du die 2. gleichung nach a aufgelöst hast hast du nun information über d= 1 b=0 a= ? diese werte setzt du nun in die 1. ausgangsgleichung ein und bekommst auch für c einen wert raus!
05.01.2005, 00:41	King_James	Auf diesen Beitrag antworten »
ok und daraus folgt: a=3:6=0,5 => c=1-0,5=0,5 f(x)= 0,5x³+0,5x+1 vielen dank an euch für die hilfe mitten in der nacht
05.01.2005, 00:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. -a+b-c+1=0 2. a+b+c+1=2 3. 8a+4b+2c+1=6 Und so gehst du systematisch vor: 1. nach c auflösen und in 2. und 3. einsetzen c = -a+b+1 (#) 2.' a+b+(-a+b+1)+1 = 2 3.' 8a+4b+2(-a+b+1)+1 = 6 vereinfacht: 2.' 2b + 2 = 2 3.' 6a + 6b + 3 = 6 2.' nach b auflösen und in 3.' einsetzen b = 0 3.'' 6a+3 = 6 Verbleibende Gleichung nach a auflösen: a = ½ In (#) einsetzen: c = -½+0+1 = ½

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