Beweis e^ln(x)=x

05.05.2007, 10:55	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis e^ln(x)=x Hallo. Ich würde gerne wissen, ob (oder eher wie) man den Satz $\begin{eqnarray} e^{ln(x)}=x \end{eqnarray}$ beweisen kann. Danke
05.05.2007, 10:56	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
ob kommt so ziemlich auf deine Definition der e-Funktion und der ln-Funktion an. Wenn man die ln-Funktion als Umkehrfunktion der e-Funktion einführt dann ist der Beweis trivial da es nach Definition folgt.
05.05.2007, 11:05	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
wann man ihn aber als näherungsalgorithmus sieht nicht?
05.05.2007, 11:10	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit Näherungsalgorithmus? Mit welchem Algorithmus willst du das den berechnen? Trial-Error so das es bis auf eine kleine Abweichung stimmt? Und wie willst du damit die Funktionen definieren? Außerdem kannst du wenn du den Wert nur näherungsweise berechnet hast nicht sagen das die Beziehung stimmt. Sie stimmt dann auch nur näherungsweise (da beide Funktionen injektiv sind)
05.05.2007, 11:31	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich weiß ja nicht. Aber so weit ich weiß steckt hinter so'm Logarithmus doch ein Näherungsalgorithmus wie beim Radizieren, der sich dem gesuchten Wert annähert. Also wenn man, wie du sagst die ln-Funktion als Umkehrfunktion der e-Funktion einführt, dann geht man ja quasi darauf zurück, dass das Logarithmieren eine Umkehrfunktion zum Potenzieren ist wie das Wurzelziehen. Und dann hat man ja schon den Satz $\begin{eqnarray} log_b (b^x)=x \end{eqnarray}$ bzw. dann auch $\begin{eqnarray} b^{log_b (x)}=x \end{eqnarray}$ . Aber dann ham ja schon wieder alles. Frage ich mal so: Warum ist der Logarithmus von b hoch x zur Basis b gleich x?
05.05.2007, 11:47	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt. Aber wenn du den Logarithmus als Näherung ansiehst, dann musst du auch die Wurzel usw. also alle Funktionen die irrationale Zahlen ergeben als solche Näherung ansehen. Diese werden zwar im Taschenrechner als Näherungen berechnet, mathematisch gesehen sind es aber keine Näherungen sondern genau definierte Funktionen(Wenn dich das interessiert schau mal bei Wikipedia Potenzreihe) Der Unterschied vom Logarithmieren und dem Wurzelziehen ist die Stelle wo die Veränderliche x steht. Wurzelziehen bei x^n und Logarithmieren bei n^x. Jetzt zu $\begin{eqnarray} b^{log_b(x)} = x \end{eqnarray}$ . Dazu brauchen wir 2 Definitionen: $\begin{eqnarray} b^x = e^{x\ln b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} log_b(a) = \frac{\ln a}{\ln b} \end{eqnarray}$ . D.h. allgemeine Potenz- und Logarithmenfunktionen werden auf die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus zurückgeführt. Jetzt setzen wir einmal ein: $\begin{eqnarray} b^{log_b(x)} = e^{log_b(x)\ln b} = e^{\frac{\ln x}{\ln b}\cdot\ln b} = e^{\ln x} = x \end{eqnarray}$ Der Grund das der Logarithmus zu einer anderen Basis als e nur eine Definition mit dem natürlichen Logarithmus ist, zeigt auch das diese Logarithmen eigentl. überflüssig sind. Ich benutze immer nur den natürlichen Logarithmus und forme dann mit den Logarithmengesetzen um
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