Problem mit Reihenkonvergenz

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beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Reihenkonvergenz
hallo
ich habe folgende problemstellung:
es sei eine konvergente reihe mit positiven gliedern.
nun sind 4 reihen auf konvergenz zu untersuchen (konvergenzbeweis oder gegenbeispiel). bei einer hänge ich grade:


wenn ich als beispiel nehme
so erfüllt das (wenn mich jetzt nicht alles täuscht) die voraussetzung, und es gilt:


und das ist (wenn mich wiederum nicht alles täuscht) divergent.
so weit richtig?
wenn ich nämlich jetzt das quotientenkriterium zu rate ziehe gilt:

damit komme ich auf das ergebnis, dass der quotient kleiner 1 ist, also müsste es konvergieren. was mach ich falsch?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Gegenbeispiel stimmt.

Du hast das Quotientenkriterium falsch angewendet, es gilt:


Der Beweis des Quotientenkrteriums wurde ja gemacht das jedes Reihenglied a_n abgeschätzt wurde mit einem q < 1. Hier kann man aber kein q < 1 finden so dass es für alle a_n gilt.
(Annahme es gibt eines dann gibt es ein n so dass n/(n+1) > q)
beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke das hilft mir schon weiter. aber dann hab ich wohl ein grundsätzliches verständnisproblem mit dem limes. stimmt denn folgende ungleichung nicht?



ah, ja ich denke wohl, sie stimmt nicht unglücklich das muss ich mir merken. DANKE
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein die Ungleichung stimmt natürlich nicht.
Es gilt:
beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »

ich bräuchte nochmal eure hilfe bei folgender reihe:

ich vermute sie konvergiert, aber wie beweise ich es? ich komm da nicht weiter
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du folgenden Satz?:
Gilt mit dann sind und entweder beide konvergent oder beide divergent.

Damit kann man es sehr leicht beweisen.
 
 
beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »

nein den satz kannte ich nicht. aber wie lautet nun die folge, die ich in dem satz als vergleich benutzen soll? ich steh aufm schlauch traurig
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

mit der Substitution x = a_n.

Der Beweis des Satzes geht in dem du sagst das ab einem bestimmten gilt:
und dann das Majoranten-/Minorantenkriterium benutzt
beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ja jetzt ist es klar. danke!
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ich habe mir zu der aufgabe überlegt auf dieses das wurzelkriterium anwenden
geht das auch?
beuteltier Auf diesen Beitrag antworten »

da fehlen irgendwie die limites. und die folge lautet ja , du hast aber nicht die n-te wurzel davon genommen, sondern die k-te wurzel von e^a.

oder ich hab es nur falsch verstanden was du meinst smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

@Monstar
Ich muss ersteinmal beuteltier rechtgeben da fehlen die Limes damit es zu e wird.
Aber nicht nur das, auch ist das k nicht das k was nachher beim Wurzelkriterium benutzt wird(dort wird das n des Laufindex der Summe benutzt).

Außerdem musst du ja für das Wurzelkriterium zeigen das es kleiner 1 ist und nicht irgendwie wild abschätzen(kann natürlich auch sein das ich irgendwas falsch verstanden hab aber sieht falsch für mich aus)
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

ja sorry man ersetze die n's durch k's, das ist bissl durcheinander geraten.
kann man mit der idee dann noch etwas anfangen oder geht das so gar nicht?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

gar nicht, die n's sind immer noch verschieden mit den n's der Summe(du hättest hier eine Variable zweimal belegt), und abschätzen mit wurzelkriterium ist imo sowieso sinnlos da nicht alle konvergenten Reihen mit dem Wurzelkriterium entscheidbar sind
Monstar Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke habe verstanden Augenzwinkern
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