und noch eine funktionsschar...

04.01.2005, 18:32

Millhouse

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und noch eine funktionsschar...

hallo.
und wieder kämpfe ich mit einer komischen funktionsschar:

$\begin{eqnarray*} (x^2-a)\cdot e^{x+a} \end{eqnarray*}$

die aufgaben:
- untersuche die funktion auf nullstellen und extrem- und wendepunkte
- bestimme die hüllkurve der schar

so, die nullstellen habe ich noch hingekriegt Rock

Rock

nun hinkel aber schon wieder bei der ersten ableitung... wie leitet man sowas ab?
also ich habs mal nach produktregel gemacht, und bin auf das hier gekommen:

$\begin{eqnarray*} e^{x+a}\cdot (2x+(x^2-a)) \end{eqnarray*}$

und die zweite ableitung nach der gleichen regel:

$\begin{eqnarray*} e^{x+a}\cdot (5x+(x^2-a)) \end{eqnarray*}$

das erscheint mir aber nicht ganz richtig... und berechnet man denn die nullstellen von sowas?

und dann müsst ich vielleicht noch dazusagen, dass wir hüllkurven noch nie gemacht haben, habe mir nur bei wikipedia durchgelesen was das ist und wie man das so ungefähr macht... aber eins nach dem anderen....

04.01.2005, 18:35

iammrvip

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RE: und noch eine funktionsschar...

Zitat:

Original von Millhouse
$\begin{eqnarray*} e^{x+a}\cdot (2x+(x^2-a)) \end{eqnarray*}$

und die zweite ableitung nach der gleichen regel:

$\begin{eqnarray*} e^{x+a}\cdot (5x+(x^2-a)) \end{eqnarray*}$

die erste ableitung ist richtig. die zweite stimmt nicht unglücklich

unglücklich

04.01.2005, 18:41

Millhouse

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RE: und noch eine funktionsschar...

Zitat:

Original von iammrvip
die erste ableitung ist richtig. die zweite stimmt nicht unglücklich

unglücklich

hm... sorry, ich komm da echt nicht drauf Buschmann

Buschmann

egal wie ich rechne...

04.01.2005, 18:45

iammrvip

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$\begin{eqnarray*} f'(x) =e^{x+a}\cdot (2x+(x^2-a)) \end{eqnarray*}$
der klammer drin sind überflüssig.
$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{x+a}\left(2x + x^2-a\right) \end{eqnarray*}$

jetzt einfach wieder produktregel:
$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^{x+a}\left(2x + x^2-a\right) + e^{x+a}\left(2 + 2x\right) \end{eqnarray*}$

04.01.2005, 19:15

Millhouse

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ok, dankeschön, war ein ziemlich blöder denkfehler...

die extrempunkte habe ich jetzt berechnet:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+a} \end{eqnarray*}$

hier bedarf es keiner fallunterscheidung. ich habe vergessen zu erwähnen, dass $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$
das muss man auch nicht weiter ausrechnen, oder?

aber was ist bei der 2. ableitung:
$\begin{eqnarray*} e^{x+a}\cdot (4x+x^2-a+2) \end{eqnarray*}$
was ist da das q? (a-2)?

04.01.2005, 19:21

iammrvip

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erstmal die zweite ableitung ist:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^{x+a}\left(x^2 + 4x + 2 - a\right) \end{eqnarray*}$

so zun den extremstellen. die stimmen nicht:

$\begin{eqnarray*} e^{x+a}\left(x^2 + 2x - a\right) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 + 2x - a = 0 | e^{x+a} > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q = -a \end{eqnarray*}$

also??

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04.01.2005, 19:27

Millhouse

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grr... ich weiß auch nicht wie ich darauf komme!!! Forum Kloppe

Forum Kloppe

die extremstellen sind natürlich
$\begin{eqnarray*} -1 \pm \sqrt{1+a} \end{eqnarray*}$

und wenn mich nicht alles täuscht, müsste dann das q bei f'' (2-a) sein... oder?

04.01.2005, 19:29

iammrvip

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jetzt stimmt es Freude

Freude

.

und $\begin{eqnarray*} q = 2 - a \end{eqnarray*}$ ist auch richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

04.01.2005, 19:52

Millhouse

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so, wenn jetzt noch die wendepunkte
$\begin{eqnarray*} -2 \pm \sqrt{2+a} \end{eqnarray*}$
sind, dann wäre ich damit fertig smile

smile

jetzt kommt die hüllkurve traurig

traurig

wikipedia.org sagt:
"Man leitet die Funktion f(x,t) nach t ab und bestimmt die Nullstellen t0 in abhängig von x dieser Ableitung."

t ist in diesem fall a, denke ich, also:

$\begin{eqnarray*} f'(a) = (2x-1)\cdot e^{x+a}+(x^2-a)\cdot e^{x+a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =e^{x+a}\cdot (x^2+2x-1-a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(a) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = x^2+2x-1 \end{eqnarray*}$

erst mal so weit... bin ich da auf dem richtigen weg?

04.01.2005, 19:57

iammrvip

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Zitat:

Original von Millhouse
so, wenn jetzt noch die wendepunkte
$\begin{eqnarray*} -2 \pm \sqrt{2+a} \end{eqnarray*}$
sind, dann wäre ich damit fertig smile

smile

erst mal das. das sind aber bloß die stellen. du sollst doch aber due punkte angeben.

04.01.2005, 20:03

Millhouse

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ja stimmt... aber irgendwie kommt da ja nichts gescheites raus, nur so ein term, weil man die wurzel ja nicht auflösen kann (oder??), deswegen denke ich passt das schon...

04.01.2005, 20:07

iammrvip

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na das lässt du einfach so stehen ohne irgendetwas aufzulösen verwirrt

verwirrt

.

aber wenn punkte dasteht, musst du auch punkte angeben. bei gibt's da sonst immer punktabzug.

hast du auch schon nachweis gemacht, was für extrema vorliegen??

04.01.2005, 20:31

Millhouse

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na schön:

$\begin{eqnarray*} f(-1\pm \sqrt{1+a}) = ((-1\pm \sqrt{1+a})^2 - a) \cdot e^{(-1\pm \sqrt{1+a})+a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2 + 2\sqrt{1+a} \cdot e^{(-1\pm \sqrt{1+a})+a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(-1+\sqrt{1+a}) = e^{(-1\pm \sqrt{1+a})+a} \cdot (-4+4\sqrt{1+a} + (-1+\sqrt{1+a})^2 - a + 2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^{(-1\pm \sqrt{1+a})+a} \cdot 2\sqrt{1+a} \end{eqnarray*}$

wie es scheint hat die schar nur einen tiefpunkt, da das $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ keinerlei auswirkungen auf das vorzeichen hat und die wurzel ja sowieso immer positiv ist.

04.01.2005, 20:34

iammrvip

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die schar hat einen hoch- und einen tiefpunkt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f''(-1+\sqrt{1+a}) = e^{(-1\pm \sqrt{1+a})+a} \cdot (-4+4\sqrt{1+a} + (-1+\sqrt{1+a})^2 - a + 2) \end{eqnarray*}$

den gleichen spaß müsste man auch noch für

$\begin{eqnarray*} f''(-1-\sqrt{1+a}) \end{eqnarray*}$

machen. dann kommst du aber zu dem anderen ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

04.01.2005, 20:46

Millhouse

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o... das hab ich glatt übersehn...

$\begin{eqnarray*} f''(-1-\sqrt{1+a}) = e^{(-1\pm \sqrt{1+a})+a} \cdot -6\sqrt{1+a} \end{eqnarray*}$

sie hat also einen hoch- und einen tiefpunkt. juhuu smile

smile

können wir nun zur hüllkurve kommen? oder soll ich noch die art des wendepunktes bestimmen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.01.2005, 20:49

iammrvip

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japp noch nachweisen. kannst du noch mal genau die aufgabe zur hüllkurve schreiben. mir fehlt grad irgendwie der ansatz verwirrt

verwirrt

04.01.2005, 21:22

Millhouse

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$\begin{eqnarray*} f'''(-2+\sqrt{2+a}) = e^{(-2+ \sqrt{2+a})+a} \cdot 2\sqrt{2+a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(-2-\sqrt{2+a}) = e^{(-2- \sqrt{2+a})+a} \cdot -2\sqrt{2+a} \end{eqnarray*}$

so, jetzt is aber genug, will die hüllkurve heute noch hinkriegen smile

smile

die funktionsschar:
$\begin{eqnarray*} (x^2-a)\cdot e^{x+a} \end{eqnarray*}$

wikipdia.org: "Man leitet die Funktion f(x,t) nach t ab und bestimmt die Nullstellen t0 in abhängig von x dieser Ableitung."

t ist in diesem fall a, denke ich, also:

$\begin{eqnarray*} f'(a) = (2x-1)\cdot e^{x+a}+(x^2-a)\cdot e^{x+a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =e^{x+a}\cdot (x^2+2x-1-a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(a) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = x^2+2x-1 \end{eqnarray*}$

geht das schon in die richtige richtung?

04.01.2005, 21:38

iammrvip

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die wendestelle stimmen

hast du noch die richtige aufgabe mal kurz dazu??

kannst du partiell ableiten?? ohne geht das nämlich nicht.

sollst du vielleicht bloß die ortskurve bestimmen??

04.01.2005, 21:46

Millhouse

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die aufgabe lautet einfach: bestimme die hüllkurve der schar.

ob ich partiell ableiten kann, weiß ich nicht.. sagt mir jetzt nichts... aber ich kann partiell integrieren...

04.01.2005, 21:51

iammrvip

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ja. also du leitest jetzt $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ nach a ab. hast du ja schon gemacht. das stimmt aber nicht unglücklich

unglücklich

das setzt du jetzt gleich 0 und löst nach x auf und setzt den wert statt dem a in die funktion $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ ein.

man fasst nun deine funktion als funktion mit zwei abhängigen variablen auf. also

$\begin{eqnarray*} f(x,a) = \left(x^2 - a\right)e^{x+a} \end{eqnarray*}$

und leitest jetzt partiell nach a ab

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,a)}{\partial a} = e^{x+a}\left(x^2 - 1 -a\right) \end{eqnarray*}$

und löst nach a auf

$\begin{eqnarray*} a = x^2 - 1 \end{eqnarray*}$

und das in die ausganggleichung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f(x , x^2 - 1) = e^{x^2 + x -1} \end{eqnarray*}$

muss leider weg. sorry.

05.01.2005, 00:42

Millhouse

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vielen vielen dank für die mühe.
so wirklich kann ich zwar nicht was damit anfangen, aber ist immerhin schon etwas. ich denke es bleibt mir nichts übrig als diese aufgabe auszulassen

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