Endomorphismenring

04.01.2005, 18:36	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismenring Ich wäre bei folgender Aufgabe über eine kleine Starthilfe sehr dankbar. Sei K ein beliebiger Körper und $\begin{eqnarray} V=K^2 \end{eqnarray}$ . Für den Endomorphismenring R=L(V,V) (a) finde man ein Element in R\{0}, das nicht invertierbar ist (bzgl. Komposition), (b) zeige man, dass R nicht kommutativ ist. Vielen Dank Merlin
04.01.2005, 18:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) Wie wäre es mit einer Projektion auf z.B. die erste Koordinate?
04.01.2005, 19:27	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen lassen sich ja besonders gut als (Abbildungs-)Matrizen darstellen. (Ich gehe mal davon aus, dass L(V,V) die Menge der lin. Abb. von V nach V meint). Jede Matrix, deren Determinante 0 ist, ist nicht invertierbar. Nimm eine nicht invertierbare Matrix und mach daraus ne lin. Abbildung. Man kann die Kommutativität durch ein Gegenbeispiel widerlegen.
06.01.2005, 17:18	merlin25	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich alles richtig verstanden habe ist der Teil (a) der Aufgabe gelöst wenn ich eine 2x2 Matrix finde deren Determinante 0 ist, da diese nicht zu invertieren ist oder? $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(A)=ad-bc=0 \end{eqnarray}$ z. B. a=6, b=2, c=9, d=3 $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 9 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=Ax \end{eqnarray}$ zu (b) Ich habe folgendes gemacht: es gilt ja $\begin{eqnarray} AB\neq BA \end{eqnarray}$ zu Zeigen $\begin{eqnarray} f\cdot g\neq g\cdot f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=Fx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x)=Gx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f\cdot g)(x)=f(g(x))=f(Gx)=FGx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (g\cdot f)(x)=g(f(x))=g(Fx)=GFx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} FGx\neq GFx \end{eqnarray}$ ist das richtig?
08.01.2005, 14:24	masterx	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe eine ähnliche Aufgabe daher würde ich es super finden wenn mir einer sagen kann ob das was merlin25 da schreib stimmt. Das AB ungleich BA ist doch nicht immer der Fall oder? Kann man das denn so machen?
08.01.2005, 14:59	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo masterx - oder soll ich lieber Merlin sagen... Also aus deiner Antwort für (b) werd ich nicht ganz schlau... Könnte es sein, dass die die Elemente von R mit den Abbildungsmatrixen identifiziert und dann sagst, dass R nicht kommutativ ist, weil der Ring der Matrizen nicht kommutativ ist? Also so wie du das hingeschrieben hast, fehlt das noch einiges - würd ich sagen. Mach doch ein ganz konkretest Beispiel: nimmt irgendeinen Ring und zwei Abbildungen. Und bei (a). Ich denke dass die Koeffizienten der Matrix in dem Körper K liegen müssen. Aber in der Angabe steht doch gar nicht, dass es die Elemente 2,3,6 und 9 in K gibt... Allerding bin ich mir nicht sicher, ob dieser Einwand stimmt. Ich würds lieber die Projektion nehmen, die Leopold schon vorgeschlagen hat. Gruß Anirahtak
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