Funktion in (0,0) differenzierbar - Betrachtung mit Definition

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hmer Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion in (0,0) differenzierbar - Betrachtung mit Definition
Hallo.

Wir haben mit Differenzierbarkeit von vektorwertigen Funktionen etc. begonnen. Ich komme mit einer Aufgabe nicht so recht klar:


Man beweise durch Betrachtung der Definition, dass die Funktion

in (0,0) differenzierbar ist.


Die Definition von Differenzierbarikeit ist wie folgt:

Eine Abbildung mit heißt (total) differenzierbar in , falls es ein gibt mit , eine lineare Abbildung und eine Abbildung mit , wobei

Sodass gilt:


Wie soll ich diese Defintion denn darauf anwenden???

Hier ist ja n = 2 und m = 1, aber ich versteh das mit dem nicht wirklich.

Vielen dank für die Hilfe, schöne grüße
hmer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Gleichung ein bißchen umformst, findest du



Du mußt daher zeigen, daß der für genügend kleine definierte Ausdruck



für gegen strebt. Aber was ist dabei ? Nun, ist letztlich die gesuchte Ableitung: .

Im konkreten Fall braucht man jetzt einen Verdacht hinsichtlich des Wertes der Ableitung. Ich habe einfach einmal auf gut Glück probiert. Ich schreibe . Dann geht es also um



Auf die spezielle Norm kommt es nicht an, du könntest daher mit arbeiten. Gehe zum Betrag über und schätze den Nenner geeignet nach unten ab (einfach brutal weglassen, was das Vereinfachen stört).
hmer Auf diesen Beitrag antworten »

hmm so ganz klar ist mir die vorgehensweise nicht. denn woher weiß ich, dass die A-Matrix eben die Ableitung ist???

Und das ich da einfahc "vermuten" kann, finde ich komisch.

Die Abschätzung ist mir auch nicht ganz klar, wir sollen aber in der euklidischen Norm arbeiten, d.h.



Aber das kann doch jeden Wert annehmen (theoretisch), wie soll ich denn da das Ding abschätzen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß die Matrix die Ableitung ist, ist einfach Definition. Das müßte irgendwo in deinen Unterlagen stehen. Daß ich für genommen habe, hat keinen mathematischen Grund, sondern einen pädagogischen: "Die werden es für eine Anfängeraufgabe in mehrdimensionaler Differentialrechnung schon nicht so schwer machen." Ansonsten hätte man auch partielle Ableitungen berechnen können, um einen Verdacht zu bekommen.
Und in der Tat - mit dieser Wahl klappt es. Denn man kann zeigen, daß der fragliche Ausdruck gegen 0 konvergiert.

Und das kann man am einfachsten durch Abschätzen zeigen. Zunächst geht man zum Betrag über. Wenn nämlich ein Term gegen 0 konvergiert, so auch sein Betrag - und umgekehrt. Und im Nenner kannst du abschätzen:



Und jetzt benötigt man nur noch Stetigkeit und Wert des Logarithmus an der Stelle 1, um die Argumentation abzuschließen.
hmer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold!

Vielen dank. Jetzt ist es klarer geworden. Ich habe mal alte Aufgaben aus der Analysis in einer veränderlichen angeschaut und da haben wir quasi auch immer "Grenzwerte vermutet"...es sieht nur eben anders aus, wenn man eine "Matrix" vermutet.

Eine zweite Aufgabe lautet wie folgt.

Beweise durch Betrachtung der Definition, dass

in (0,1) zwar partiell nicht aber total differenzierbar ist.

Der Begriff partielle Differenzierbarkeit ist, so wie ich ihn verstanden habe, sehr spezifisch. Wenn eine Funktion überall partiell differenzierbar ist, heißt das nicht, dass sie auch total differenzierbar ist, es kann sogar sein, dass die Funktion nicht mal stetig ist.

Partielle Differenzierbarkeit haben wir wie folgt definiert:


Eine Abbildung mit heißt partiell differenzierbar bezüglich der Richtung in , falls


existiert.

Dabei ist der k-te Einheitsvektor.

f heißt in partiell differenzierbar falls sämliche partielle Ableitung existieren.

Für die x-Richtung sieht das doch in der Aufgabe wie folgt aus:



=

=

=

=

wobei ich L'Hospital im 1-D verwendet habe, geht das?

Genau so würde ich in y Richtung verfahren und dann eben schauen, ob wenn ich in die Matrix A die partiellen Ableitungen einfüge, ob dann
für gegen 0 strebt.

Was meinst du? ist das die richtige Strategie?
Viele grüße, hmer!
hmer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo....wollt nur nochmal fragen, ob ich L'hospital im 1-D verwenden darf?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal: L'Hospital kannst du immer dann anwenden, wenn die Voraussetzungen gegeben sind. Aber hier geht es doch um etwas ganz anderes: Partielle Ableitungen sind Ableitungen nach einer Variablen bei festgehaltenen restlichen Variablen. Da also nur das Sich-Verändern einer einzigen Variablen hier von Belang ist, kannst du von vorneherein gegebene konkrete Werte für die anderen Variablen einsetzen.



Für hast du also die nur von abhängige Funktion



an der Stelle auf Differenzierbarkeit zu untersuchen. Da das aber die Nullfunktion ist, ist auch die Ableitung die Nullfunktion, speziell an der Stelle :



Analog hast du bei die Funktion bei auf Differenzierbarkeit zu untersuchen.
hmer Auf diesen Beitrag antworten »

hallo leopold.

ok ich kann es jetzt nachvollziehen. wenn ich jetzt erhalte ich wiederum 0.

d.h. mein gradient an der stelle (x,y) = (0,1) = (0,0).

jetzt muss ich zeigen, dass eben für ein aus einer Umgebung von (0,1)

nicjht gegen 0 konvergiert für , oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

muß natürlich aus einer punktierten Umgebung von 0 sein!

Wenn bei total differenzierbar wäre, dann wäre es nach einem bekannten Satz auch partiell differenzierbar. Also kann die Ableitung an dieser Stelle höchstens sein. Du mußt daher nur nachweisen, daß



nicht den Grenzwert 0 für besitzt. Dazu darfst du ganz spezielle Annäherungen betrachten, z.B.



oder sonstwie geeignet. "Sonstwie geeignet" heißt, daß du darauf hinarbeiten mußt, daß beim Grenzübergang nicht der Grenzwert 0, sondern ein anderer Grenzwert oder auch gar keiner entsteht.
hmer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

ich scheine es geschnallt zu haben. für solche widerspruchsbeweise reicht es ja zu zeigen, dass eine folge existiert, für die der grenzwert eben nicht definiert ist.

ist also , d.h. damit ist klar



Da

Passt das?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest nicht schreiben, denn dazu müßtest du aus beliebiger Richtung gegen streben lassen. Für den Widerspruchsbeweis wird spezialisiert:



Du hast daher



nur für diese speziellen zu untersuchen. Und wenn du dann die Wurzel im Nenner nicht unterschlägst, kommst du vielleicht auch zum richtigen Ergebnis ... Augenzwinkern
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