Beweis einer ÄR ohne Reflexivität

05.05.2007, 17:21

Gast1258

Beweis einer ÄR ohne Reflexivität

Hallo Matheboardler,

ich habe eine Aufgabe gestellt bekommen, bei der ich mir nicht ganz sicher bin, ob meine Antwort richtig ist.

"Eine Äquivalenzrelation auf X lässt sich nur mit Symmetrie und Transitivität nachweisen - wirklich?"
Die Behauptung sagt weiter: aus x~y => y~x und damit schließlich
x~y, y~x => x~x
Also die Anwendung der vorausgesetzten Symmetrie auf die Transitivität soll die Reflexivität ergeben.

Meine Antwort wäre "ja", allerdings auch schon ohne die Transitivität.
Mein Gedanke: Für die Symmetrie wird gefordert, dass für alle x,y aus X gelten soll, wenn x~y dann auch y~x.
Allerdings verlangt das ja nicht direkt, dass x<>y, also wäre auch x=y denkbar, was folglich hieße, x steht in Relation zu sich selbst.

Oder stimmt das eben gerade nicht, weil Symmetrie voraussetzt, dass es zwei Elemente x,y gibt (also dann verschiedene) die bereits in Relation zueinander stehen. Und das ist dann nicht auf reflexiv anwendbar, weil ich hier zeigen soll, dass x zu sich selbst in Relation steht?

05.05.2007, 22:01

Mazze

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Zitat:

Allerdings verlangt das ja nicht direkt, dass x<>y, also wäre auch x=y denkbar, was folglich hieße, x steht in Relation zu sich selbst.

Du verwechselst die Kausalitäten:

Für den Symmetrienachweis nimmst Du an das $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \end{eqnarray*}$ und musst dann zeigen das folgt das $\begin{eqnarray*} (y,x) \in R \end{eqnarray*}$ . Das heisst wenn Du sagst das x = y sein soll dann nimmst du bereits an das $\begin{eqnarray*} (x,x) \in R \end{eqnarray*}$ . Für diese Annahme muss aber bereits die Reflexivität gelten. Insofern reicht die Symmetrie nicht aus. Beispiel:

Folgende Relation ist symmetrisch aber nicht transitiv und auch nicht reflexiv

$\begin{eqnarray*} R = \{(1,2),(2,1)\} \end{eqnarray*}$

06.05.2007, 01:34

Gast1258

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Also geht es gar nicht ohne Reflexivität, denn aus Symmetrie und Transitivität muss dann auch nicht zwangsläufig die Reflexivität folgen, denn wenn ich eine Relation $\begin{eqnarray*} R = \{(1,2) ; (2,1) ; (1,3) ; (3,1) ; (2,3) ; (3,2)\} \end{eqnarray*}$ habe, dann wären zwar
Symmetrie: x~y => y~z [(1,3) in R => (3,1) in R]
und
Transitivität: x~y, y~z => x~z [(1,3); (3,2) in R => (1,2) in R]
erfüllt, aber "Transitivität" in folgendem Sinne funktioniert nicht im Allgemeinen (gibt es soweiso nicht?):
x~y, y~x => x~x [(1,2) ; (2,1) in R => (1,1) in R] --> Widerspruch (zu Def. R).

Oder etwa nicht?

06.05.2007, 01:36

Gast1258

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Nachtrag: Klärende Frage: Wenn x,y,z - also unterschiedliche Variablen bei so Sachen verwendet, dann heißt das implizit, sie müssen unterschiedliche Werte annehmen? Außer es wird zusätzlich anders angegeben bzw. definiert?

06.05.2007, 12:17

Mazze

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Zitat:

vAlso geht es gar nicht ohne Reflexivität, denn aus Symmetrie und Transitivität muss dann auch nicht zwangsläufig die Reflexivität folgen,

Doch eine symmetrische und transitive Relation ist reflexiv. Umgekehrt ist eine nichtreflexive Relation niemals transitiv. Das hier

$\begin{eqnarray*} R = \{(1,2) ; (2,1) ; (1,3) ; (3,1) ; (2,3) ; (3,2)\} \end{eqnarray*}$

ist nicht transitiv. Transitivität muss für alle Elemente gelten. Gibt es ein Paar für die sie nicht gilt ist die Relation schonmal nicht transitiv.

Zitat:

x~y, y~x => x~x [(1,2) ; (2,1) in R => (1,1) in R] --> Widerspruch (zu Def. R).

Das wäre im Übrigen ein Gegenbeispiel mit dem man zeigen würde das Deine Relation eben nicht transitiv ist. Mach Dir mal den Unterschied zwischen Folgerung und Annahme klar.

Zitat:

Wenn x,y,z - also unterschiedliche Variablen bei so Sachen verwendet, dann heißt das implizit, sie müssen unterschiedliche Werte annehmen?

Nein, es sind Variablen die so belegt werden können wie es ihr Wertebereich erlaubt, wenn ich $\begin{eqnarray*} x,y \in [0,1] \end{eqnarray*}$ schreibe darf natürlich auch x = y sein. Trivialerweise ist zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} R = \{(1,1)\} \end{eqnarray*}$

reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Reflexiv klar.
Symmetrisch weil $\begin{eqnarray*} (1,1) \in R \Rightarrow (1,1) \in R \end{eqnarray*}$
Transitiv weil $\begin{eqnarray*} (1,1),(1,1) \in R \Rightarrow (1,1) \in R \end{eqnarray*}$

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